Le chaos déterministe

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• 1. Le chaos déterministe, 27 octobre 2012, 03:37

  Prenons la roue d’un moulin à eau. A l’extrémité des rayons de cette roue, plaçons des godets que nous perçons de gros trous. Amenons maintenant une arrivée d’eau juste au-dessus du godet situé au sommet du dispositif. Ouvrons le robinet. Si nous l’ouvrons très peu, le filet d’eau coule directement par le trou du godet n°1, et ne parvient pas à le remplir : la roue reste fixe. Si nous ouvrons un peu plus le robinet, le godet n°1 se remplit peu à peu. Il déséquilibre la roue qui se met à tourner. Les autres godets passent successivement sous le robinet, mais ne se remplissent qu’un peu. Lorsque la roue a parcouru un tour complet, le godet n°1, à présent vide, se retrouve sous le robinet. La roue, entraînée par son mouvement, continue sa rotation, et ainsi de suite : elle acquiert assez vite un mouvement uniforme qui peut durer indéfiniment. Maintenant, recommençons l’expérience et ouvrons le robinet un peu plus fort.

  Le godet n°1 se remplit très vite. Il pèse sur la roue qui s’ébranle ; le godet n°2 se remplit également ; la roue accélère, entraînée par ces masses combinées ; le godet n°3 se remplit, mais beaucoup moins que les deux premiers ; la roue tourne ensuite trop vite pour que les godets suivants se remplissent. Résultat : alors que la roue va achever son premier tour, les godets 1 et 2, qui remontent vers le robinet, sont encore à moitié pleins d’eau, alors que les gobelets suivants sont vides. Les gobelets 1 et 2 freinent alors la roue qui... inverse son mouvement. Bravo ! Vous venez de construire une "roue à eau" de Lorenz, qui compte au nombre des "systèmes sensibles aux conditions initiales" : lorsque vous voyez la roue tourner, vous savez qu’elle va changer de sens à un moment ou l’autre ; mais aucun ordinateur au monde ne peut prédire dans quel sens elle tournera dans quelques heures, pour une raison simple : c’est que le nombre d’opérations nécessaires pour effectuer une prédiction fiable est exponentielle en fonction de l’éloignement de la prédiction dans le temps. Autrement dit, plus vous cherchez à prédire longtemps à l’avance, plus vous devez effectuer de calculs ; et assez vite, ce nombre de calculs confine à l’infini.

  Situation tout à fait renversante : nous pouvons décrire intégralement ce système, nous savons très bien comment il fonctionne, nous pouvons écrire les équations qui le régissent (en somme, il est déterminniste au sens de Laplace et du positivisme de Comte) ; et cependant il est imprédictible : aucun groupe d’ordinateurs au monde ne peut calculer son état futur. Il en va de même avec la météo (Lorenz était météorologue), où trois facteurs fondamentaux (vitesse du vent, hygrométrie et température), assez simples par eux-mêmes, entretiennent des rapports d’interaction réciproques si complexes qu’il est rigoureusement impossible de prévoir avec certitude et précision la météo dans quinze jours - même si toute la surface de la Terre était couverte de capteurs ultrasensibles et que nous coordonnions toutes les capacités de calcul du monde.

  Ces phénomènes bizarres, à la fois déterministes et imprédictibles, sont appelés "chaotiques". Le mathématicien Nicolas Mandelbrot les décrit en 1975 dans sa Géométrie fractale de la nature. Au départ, la communauté scientifique croit qu’il s’agit simplement d’une curiosité mathématique. Depuis, en trente ans, on a découvert que la théorie du chaos et la géométrie fractale présentent des applications dans tous les domaines : embouteillages, croissance des plantes, dynamiques des populations, battements du cœur, accouchement, erreurs informatiques, cours boursiers, mouvements de foule, description du vol des oiseaux en groupe et déplacement des poissons en banc, réactions nucléaires en chaîne, porosité des sols, orbites des planètes, précipités chimiques, érosion des côtes, formation des nuages...