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Les travaux mathématiques de Karl Marx

jeudi 25 février 2016, par Robert Paris

Les travaux mathématiques de Karl Marx

Engels sur la tombe de Marx :

« Marx a découvert la loi particulière du mouvement du mode de production capitaliste actuel et de la société bourgeoise qui en est issue. La découverte de la plus-value a, du coup, fait ici la lumière, alors que toutes les recherches antérieures aussi bien des économistes bourgeois que des critiques socialistes s’étaient perdues dans les ténèbres. Deux découvertes de ce genre devraient suffire pour une vie entière. Heureux déjà celui auquel il est donné d’en faire une seule semblable ! Mais dans chaque domaine que Marx a soumis à ses recherches (et ces domaines sont très nombreux et pas un seul ne fut l’objet d’études superficielles), même dans celui des mathématiques, il a fait des découvertes originales. Tel fut l’homme de science. Mais, ce n’était point là, chez lui, l’essentiel de son activité. La science était pour Marx une force qui actionnait l’histoire, une force révolutionnaire. Si pure que fut la joie qu’il pouvait avoir à une découverte dans une science théorique quelconque dont il est peut-être impossible d’envisager l’application pratique, sa joie était tout autre lorsqu’il s’agissait d’une découverte d’une portée révolutionnaire immédiate pour l’industrie ou, en général, pour le développement historique… Car Marx était avant tout un révolutionnaire. Contribuer, d’une façon ou d’une autre, au renversement de la société capitaliste et des institutions d’Etat qu’elle a créées, collaborer à l’affranchissement du prolétariat moderne, auquel il avait donné le premier la conscience de sa propre situation et de ses besoins, la conscience des conditions de son émancipation, telle était sa véritable vocation. La lutte était son élément. Et il a lutté avec une passion, une opiniâtreté et un succès rares. »

Engels dans son introduction à « La dialectique de la nature » :

« Les méthodes mathématiques les plus essentielles sont fixées dans leurs grandes lignes : la géométrie analytique surtout grâce à Descartes, les logarithmes grâce à Neper, le calcul différentiel et intégral grâce à Leibniz et peut-être à Newton. Il en est de même de la mécanique des solides. »

Les manuscrits mathématiques de Karl Marx

Introduction

Chapitre un

Chapitre deux

Chapitre trois

Chapitre quatre

Chapitre cinq


Marxisme et pensée scientifique

Sciences et mathématiques

Un mathématicien contre Engels


Friedrich Engels writing to Karl Marx (18 August 1881) :

......Thus yesterday I found the courage at last to study your mathematical manuscripts even without reference books, and was pleased to find that I did not need them. I compliment you on this feat. The thing is as clear as daylight, so that we cannot wonder enough at how stubbornly mathematicians insist on mystifying it. But this results from the one-sided way these gentlemen think. To put dy/dx = 0/0, firmly and without circumlocution, does not enter their skulls. And indeed it is clear that dy/dx can be the pure expression of an ongoing process in x and y only if the very last traces of the quanta x and y vanish, leaving behind only the expression of the previous variation process, without any actual quantities remaining.

You need have no fear that in all this you will have been anticipated by any mathematician. This method of differentiation is so much simpler than any other that...[Raimi note : Alas, my German was simply not up to the translation of the rest of that passage.] . . . This procedure has the most surprising consequence, besides, in that it makes clear that the usual method, with its "leaving behind" of dx, dy, etc., is absolutely false. And this is the special beauty of the thing : only if dy/dx = 0/0, only then is the mathematical operation absolutely correct.

Old man Hegel had therefore been quite correct in his conjecture, that differentiation has at its foundation the requirement that the two variables be of differing powers, and at least one of them of power at least 2 or 1/2. Now we also understand why.

[Raimi note : I think this paragraph has been garbled by me in the translation ; but then, I don’t know what old Hegel had said, and was, when first reading this letter, surprised to learn that he had discussed this subject at all. Engel’s letter goes on as follows, and this part is contained in the Struik paper :]

When we say, in y = f(x), that x and y are variable, then so long as we stop there the proposition has no consequences, and x and y are still, pro tempore, nothing but constants. Beginning only when they actually, within the functional relationship, vary, do they in fact become variable ; and only then can their relationship, previously hidden in the original equation, be brought out into the light of day, not as the quantities themselves but in their variability. The first difference quotient Δy/Δx exhibits this relationship as it flows from the actual variation, that is, as it results from a given variation ; the final relationship dy/dx shows it in its universality, pure, and thus we see that the same dy/dx results from the various choices of Δy/Δx, though they themselves may differ according to the case. To arrive at the general relationship from the various cases, these cases must be liberated from being special cases as such. Following, therefore, the functional process of moving from x to x’, with all its consequences, we can quietly let x’ become x again ; this is not merely the old variable named x any more, it has gone through an actual variation, and the result of the variation remains, even though we remove the thing itself.

Finally it becomes clear, as many mathematicians have long maintained without any rational grounds for believing it, that the differential quotient is the original relation, whose differentials are dx and dy : that the relationship of the formula itself requires that the two so-called irrational factors initially form one side of the equation, and only when goes back to the equation in its first form dy/dx = f(x) can one understand what to make of this, to be free of irrationals, and to set its rational expression in its place.

These thoughts have so seized me that they not only have been running around in my head all day, but I even had a dream the previous night that I had buttonholed a pal RAR[4] and gone through this whole differential matter with him, too.

Yours, F. E.

Ralph A. Raimi


Engels dans l’"Anti-Dühring" :

« Les mathématiques élémentaires, les mathématiques des grandeurs constantes, se meuvent, du moins dans l’ensemble, à l’intérieur des limites de la logique formelle ; les mathématiques des grandeurs variables, dont le calcul infinitésimal forme la partie la plus importante, ne sont essentiellement que l’application de la dialectique à des rapports mathématiques. La pure démonstration passe ici décidément à l’arrière-plan, en comparaison des multiples applications de la méthode à de nouveaux domaines de recherche. Mais presque toutes les démonstrations des mathématiques supérieures, dès les premières démonstrations du calcul différentiel, sont, à strictement parler, fausses du point de vue des mathématiques élémentaires. Il ne peut en être autrement, dès que, comme c’est ici le cas, l’on veut démontrer au moyen de la logique formelle les résultats obtenus sur le plan de la dialectique. Vouloir, à l’usage d’un métaphysicien endurci comme M. Dühring, démontrer quoi que ce soit au moyen de la seule dialectique serait peine perdue, comme c’était peine perdue pour Leibniz et ses disciples de vouloir démontrer les principes du calcul infinitésimal aux mathématiciens de leur temps. La différentielle provoquait chez eux les mêmes convulsions que chez M. Dühring la négation de la négation, dans laquelle, comme nous le verrons, la différentielle joue d’ailleurs aussi un rôle. Ces messieurs, dans la mesure où ils n’étaient pas morts entre temps, ont fini par céder en rechignant, non qu’ils fussent convaincus, mais parce que les résultats étaient toujours justes. M. Dühring n’est parvenu, il le dit lui-même, qu’à la quarantaine, et s’il atteint le grand âge que nous lui souhaitons, il peut aussi lui arriver la même aventure. »

La suite


Extrait de la préface à l’"Anti-Duhring" :

« Il ne pouvait s’agir pour moi de faire entrer par construction les lois dialectiques dans la nature, mais de les y découvrir et de les en extraire. Pourtant cette œuvre, si on l’entreprend d’une manière suivie et pour chaque domaine particulier, est un travail de géant. Non seulement le terrain à dominer est presque incommensurable, mais sur tout ce terrain la science de la nature elle-même est engagée dans un processus de bouleversement si puissant qu’il peut à peine être suivi même de celui qui dispose pour ce faire de tout son temps libre. Or, depuis la mort de Karl Marx, mon temps a été requis par des devoirs plus pressants et j’ai dû interrompre mon travail. Il me faut jusqu’à nouvel ordre me contenter des indications données dans le présent ouvrage et attendre que quelque occasion à venir me permette de rassembler et de publier les résultats obtenus, peut-être avec les manuscrits mathématiques extrêmement importants laissés par Marx. »

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