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L'univers fractal de la matière et du mouvement - Matière et Révolution
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L’univers fractal de la matière et du mouvement

vendredi 10 février 2017, par Robert Paris

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Univers fractal

L’univers est fait de niveaux d’organisations successifs et imbriqués comme des poupées russes. Comme un gigantesque fractal où chaque zoom sur un détail révèle des nouvelles structures, des nouveaux mondes. Nous allons donc zoomer dans le monde de la matière, de l’infiniment grand à l’infiniment petit, jusqu’aux limites des connaissances scientifiques actuelles.

Fractales

On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques impliquant une homothétie interne. Le terme « fractale » est un néologisme créé par Benoît Mandelbrot en 1974 à partir de la racine latine fractus, qui signifie brisé, irrégulier (fractales n.f). Ce terme était au départ un adjectif : les objets fractals. Dans Le Trésor des Paradoxes (Philippe Boulanger & Alain Cohen), les fractals sont définis de manière paradoxale, en référence aux structures gigognes dont ils constituent des cas particuliers : « Les objets fractals peuvent être envisagés comme des structures gigognes en tout point et pas seulement en un certain nombre de points, les attracteurs de la structure gigogne classique. Cette conception hologigogne (gigogne en tout point) des fractales implique cette définition tautologique : un objet fractal est un objet dont chaque élément est aussi un objet fractal ». Malgré les apparences, ce type de définitions de nature récursive n’est pas seulement théorique mais peut concerner aussi des concepts usuels : un ancêtre est un parent ou un ancêtre d’un parent, un multiple est un composé d’un nombre ou d’un multiple de ce nombre, un escalier commence ou prolonge un escalier, une dynastie inaugure ou prolonge une dynastie, etc.

Caractéristiques

Un objet fractal possède au moins l’une des caractéristiques suivantes : * il a des détails similaires à des échelles arbitrairement petites ou grandes ;

* il est trop irrégulier pour être décrit efficacement en termes géométriques traditionnels ;

* il est exactement ou statistiquement autosimilaire, c’est-à-dire que le tout est semblable à une de ses parties ;

* sa dimension de Hausdorff est strictement supérieure à sa dimension topologique. Pour exprimer la chose autrement, un réseau d’irrigation est un déploiement de lignes qui offre des caractéristiques commençant à évoquer une surface. La surface du poumon est repliée en une sorte de volume. De façon imagée, les fractales se caractérisent par une sorte de dimension non-entière.

Domaines de validité

Les fractales n’ont pas à satisfaire toutes les propriétés mentionnées ci-dessus pour servir de modèles. Il leur suffit de réaliser des approximations convenables de ce qui intéresse dans un domaine de validité donné (le livre fondateur de Mandelbrot Les Objets fractals en donne une grande variété d’exemples). La taille des alvéoles du poumon, par exemple, taille à partir de laquelle celui-ci cesse de se subdiviser de façon fractale, est liée à la taille du libre parcours moyen de la molécule d’oxygène à température du corps.

La dimension utilisée est celle de Hausdorff, et on observe qu’elle correspond à une caractéristique nouvelle des surfaces irrégulières. On connaît les plages de validité des dimensions de Hausdorff observées sur Terre pour les montagnes, les nuages, etc.

Des exemples de fractales sont les ensembles de Julia et de Mandelbrot, la fractale de Lyapunov, l’ensemble de Cantor, le tapis de Sierpinski, le triangle de Sierpinski, la courbe de Peano ou le flocon de Koch. Les fractales peuvent être des fractales déterministes ou stochastiques. Elles apparaissent souvent dans l’étude des systèmes chaotiques.

Les fractales peuvent être réparties en trois grandes catégories :

1. Les systèmes de fonctions itérées. Ceux-ci ont une règle de remplacement géométrique fixe (l’ensemble de Cantor, le tapis de Sierpinski, le triangle de Sierpinski, la courbe de Peano, le flocon de Koch) ;

2. Les fractales définies par une relation de récurrence en chaque point dans un espace (tel que le plan complexe). Des exemples de ce type sont les ensembles de Mandelbrot et la fractale de Lyapunov ;

3. Les fractales aléatoires, générées par des processus stochastiques et non déterministes, par exemples les paysages fractals.

De toutes ces fractales, seules celles construites par des systèmes itérés de fonctions affichent habituellement la propriété d’autosimilitude, signifiant que leur complexité est invariante par changement d’échelle. Les fractales aléatoires sont les plus utilisées dans la pratique, et peuvent servir à décrire de nombreux objets extrêmement irréguliers du monde réel. Les exemples incluent des nuages, les montagnes, les turbulences de liquide, les lignes des côtes et les arbres. Les techniques fractales ont aussi été utilisées dans la compression d’image fractale, de même que dans beaucoup de disciplines scientifiques.

Dimension fractale (petit passage pour des matheux que les non-matheux peuvent sauter)

La dimension d’une ligne droite, d’un cercle et d’une courbe régulière est de 1. Une fois fixée une origine et un sens, chaque point de la courbe peut être déterminé par un nombre, qui définit la distance entre l’origine et le point. Le nombre est pris négativement s’il faut se déplacer dans le sens opposé à celui choisi au départ.

La dimension d’une figure simple dans le plan est de 2. Une fois un repère défini, chaque point de la figure peut être déterminé par deux nombres. La dimension d’un corps simple dans l’espace est de 3.

Une figure telle qu’une fractale n’est pas simple. Sa dimension n’est plus aussi facile à définir et n’est plus forcément entière. La dimension fractale, plus complexe, s’exprime à l’aide de la dimension de Hausdorff.

Quand la fractale est formée de réplications d’elle-même en plus petit, sa dimension fractale peut se calculer comme suit :

d = \frac\ln(n)\ln(h)

où la fractale de départ est formée de n exemplaires dont la taille a été réduite d’un facteur h (pour homothétie).

Quelques exemples :

* Un côté du flocon de Koch est formé de n = 4 exemplaires de lui-même réduit d’un facteur h = 3. Sa dimension fractale vaut : d= \frac\ln(4)\ln(3) \simeq 1,2618595…

* Le triangle de Sierpinski est formé de n = 3 exemplaires de lui-même réduit d’un facteur h = 2 . Sa dimension fractale vaut : d= \frac\ln(3)\ln(2) \simeq 1,5849625…

* Le tapis de Sierpinski est formé de n = 8 exemplaires de lui-même réduit d’un facteur h = 3. Sa dimension fractale vaut : d= \frac\ln(8)\ln(3) \simeq 1,892789…

Fractales dans la nature

Des fractales approximatives sont facilement observables dans la nature. Ces objets ont une structure autosimilaire sur une échelle étendue, mais finie : les nuages, les flocons de neige, les montagnes, les réseaux de rivières, le chou-fleur ou le brocoli, et les vaisseaux sanguins. Les arbres et les fougères sont de nature fractale et peuvent être modélisés par ordinateur à l’aide d’un algorithme récursif. La nature récursive est évidente dans ces exemples ; la branche d’un arbre ou la fronde d’une fougère sont des répliques miniatures de l’ensemble : pas identiques, mais de nature similaire.

La surface d’une montagne peut être modélisée sur ordinateur en utilisant une fractale : prenons un triangle dans un espace tridimensionnel dont nous connectons les milieux de chaque côté par des segments, il en résulte quatre triangles. Les points centraux sont ensuite déplacés aléatoirement vers le haut ou le bas, dans un rayon défini. La procédure est répétée, diminuant le rayon de moitié à chaque itération. La nature récursive de l’algorithme garantit que le tout est statistiquement similaire à chaque détail.

Enfin, certains astrophysiciens ont remarqué des similitudes dans la répartition de la matière dans l’Univers à six échelles différentes. Les effondrements successifs de nuages interstellaires, dus à la gravité, seraient à l’origine de cette structure (partiellement) fractale. Ce point de vue a donné naissance au modèle de l’univers fractal, décrivant un univers basé sur les fractales.

De la géométrie fractale à l’art fractaliste

La science des » objets fractals « , objets mathématiques spécifiques de la géométrie non euclidienne, inventée par le mathématicien Benoît MANDELBROT dès les années 1960, a été mise à l’honneur de la littérature scientifique en 1975 dans son livre fondamental, Les Objets fractals – Forme, hasard et dimension. Cette géométrie qui s’applique aux formes irrégulières de la nature complexe autant qu’aux figures de la mathématique pure, a servi de base de réflexion et de création aux artistes du mouvement fractaliste international depuis les années 1980, quel que soit le domaine particulier de leurs investigations artistiques respectives (arts plastiques, arts numériques, photographie, musique, voire littérature).

Le courant artistique fractaliste regroupe la multiplicité des créations, extrêmement variées, d’artistes de différentes nationalités – Européens, Japonais, Américains -, qui ont fondé leur activité créatrice sur la référence à la théorie physico-mathématique de la complexité stochastique (c’est-à-dire aléatoire) des systèmes dynamiques. Or, la théorie des systèmes dynamiques, lesquels détiennent parfois une capacité « d’auto-organisation », s’édifia substantiellement au sein de la communauté scientifique internationale au cours des années 1970. Pour le discours scientifique, la notion de complexité stochastique (ou aléatoire) implique l’idée de processus dynamiques indéterministes, non descriptibles par les lois ordinaires de la continuité mathématique, et par conséquent imprédictibles à long terme. Cette impossibilité de prédire leur comportement à long terme est due au fait qu’ils sont capables de s’auto-réorganiser indéfiniment de manière nouvelle au cours du temps, bien que certains systèmes auto-organisants soient, dans certains cas, quasi-prédictibles (séquence cyclique ; trajectoire approchée mais globalement prédictible ; etc.). Pour cette raison, ils sont donc supposés être gouvernés » objectivement » (réellement) par les seules lois du hasard. Biologistes, météorologues, sociologues, économistes, physiciens, chimistes et, bien sûr, mathématiciens, ont recours fréquemment aux » lois du hasard » pour tenter de comprendre par approximation la complexité des phénomènes imprédictibles qu’ils étudient.

En résumé, une complexité stochastique (ou aléatoire) implique effectivement des processus indéterministes, gouvernés intrinsèquement par les lois du hasard. Le grand apport des théories de la complexité a été de révéler l’existence de phénomènes simultanément déterministes et imprédictibles. Précisons enfin que les fractales mathématiques, dans cet univers complexe et imprédictible, représentent seulement l’un des aspects de ces lois du hasard, et non la seule forme qu’elles peuvent adopter.

Corrélativement, les artistes fractalistes admettent, au moins implicitement, pour modèle conceptuel présidant à la philosophie esthétique de leur entreprise créatrice, l’édifice mathématique de la géométrie fractale, formalisée par le mathématicien-informaticien Benoît MANDELBROT dans les années 1960-1970. La géométrie fractale permet, précisément, de caractériser quantitativement certaines propriétés géométriques propres à la représentation formelle des systèmes dynamiques. Le terme « fractal », utilisé comme substantif ou comme qualificatif, est par conséquent d’origine strictement scientifique, puisqu’il appartient au vocabulaire de la géométrie des phénomènes naturels – macroscopiques ou microscopiques -, infiniment irréguliers et imprévisibles en leurs détails à toute échelle d’observation. Le langage de la géométrie contemporaine dénomme donc » objet fractal » (ou plus brièvement « fractale ») une configuration spatiale à dimension non entière, qui » s’étend » dans un espace de dimension entière immédiatement supérieure, et cet espace peut posséder n’importe quel nombre de dimensions (1, 2, 3 ou n quelconque). Cette configuration discontinue, soit apparemment très ordonnée et symétrique par changement d’échelle (la courbe ou flocon de Von KOCH, qui est auto-identique à toute échelle, par exemple), soit très irrégulière et dissymétrique comme les côtes d’un littoral ou les contours d’un nuage, peut être caractérisée, quelle que soit l’échelle d’examen employée, par un degré d’irrégularité statistique variable que la géométrie euclidienne ordinaire ne peut mesurer et dont elle ne sait pas rendre compte de manière satisfaisante. Ce qui signifie qu’un objet fractal peut être extrêmement irrégulier, mais que ce n’est pas une condition nécessaire pour en faire un objet fractal, tandis que la mesure géométrique qui en rend compte dépend toujours de l’échelle d’examen adoptée.

A l’origine des pratiques artistiques revendiquant une appartenance esthétique fractaliste se situe donc l’étude mathématique des formes infiniment irrégulières dans leurs moindres détails, brisées, rompues et morcelées en chacune de leurs parcelles, donc essentiellement discontinues (le participe passé latin « fractus » résume ces acceptions qui convergent vers l’idée de moudre, de broyer et de fracturer). Le néologisme « fractal », créé par le mathématicien Benoît MANDELBROT dans la première édition française de son livre célèbre : « Les Objets fractals – Forme, hasard et dimension », incluait également l’abandon du concept mathématique traditionnel de symétrie spatiale, liée à la géométrie euclidienne, au profit d’un autre type d’organisation régissant de manière complexe les éléments d’une configuration spatiale irrégulière en toutes ses composantes. Ce nouvel « ordre fractal » était défini en termes strictement mathématiques comme un indice algébrique d’irrégularité morphologique : la dimension fractale, nombre absolu ne désignant pas une mesure de grandeur mais une mesure de la complexité formelle des configurations planes ou tridimensionnelles.

Quelles formes peuvent être considérées comme infiniment irrégulières et discontinues ? Les exemples puisés dans la nature sont omniprésents et la physique découvre qu’ils sont en extension continuelle. La structure des nuages en mouvement, la forme des montagnes, l’organisation d’un ciel étoilé, l’univers infini des galaxies, tout comme une simple feuille de châtaignier, un morceau de rocher, un fragment de métal ou une cellule biologique, humaine, animale ou végétale, sont affectés d’innombrables zones d’irrégularité en fonction des niveaux d’observation auxquels on les soumet. Le mérite de la géométrie fractale est précisément d’avoir permis de caractériser ces degrés ou niveaux d’irrégularité relative qui signent l’hétérogénéité morphostructurale de la matière et de l’univers tout entier.

Ce sont les échelles d’examen de l’objet, naturel ou géométrique, qui définissent les degrés variables de discontinuité. Le thème, bien connu en physique théorique (mécanique quantique), de l’interrelation opératoire de l’observateur avec l’objet observé, s’affirme en ce domaine mathématique comme le motif primordial de la détermination de la dimension fractale. Il existe une analogie entre les positions des observateurs en géométrie fractale et en mécanique quantique : dans les deux cas, la présence de l’observateur modifie le résultat de l’expérience en cours. Cependant, pour conserver la justesse du raisonnement, il convient de préciser que l’analogie s’arrête là : en mécanique quantique, c’est la présence même de l’observateur et de ses instruments de mesure, comme éléments de la réalité physique, qui constitue le facteur de perturbation. Dans le cas des objets fractals, le résultat est modifié selon le point de vue que l’observateur choisit de prendre : le niveau mésoscopique d’échelle auquel il s’arrête. Les deux situations sont, pour cette raison, très différentes, et mènent donc à deux modèles du monde très différents.

Du point de vue fractaliste, les objets de la nature, observés à grande distance, peuvent apparaître globalement comme des formes simples, régulières, descriptibles au moyen des catégories de la traditionnelle géométrie euclidienne : des cercles, des triangles, des parallélépipèdes, des sphères, des cônes, des cylindres, des polyèdres, et toute combinaison de ces formes élémentaires primitives. Pourtant, observées de plus près, ces formes naturelles deviennent plus compliquées, moins linéaires, moins « euclidiennes » ; elles présentent des contours brisés et des structures surfaciques ramifiées, enchevêtrées. Si le niveau d’observation, toujours plus exigeant, continue de s’affiner par l’intermédiaire de la loupe et du microscope, le moindre détail apparaît alors comme une myriade de détails plus fins et toujours plus riches de microformes, elles-mêmes saturées à l’infini de microformes gigognes hyper-détaillées aux apparences nouvelles.

Bien entendu, le fractal dans la nature ne « passe pas » à l’infini. Il existe un niveau d’échelle limite dans la nature à cet aspect fractal : celui-ci s’éteint au moment où l’auto-similarité cesse. Pour un objet comme un rocher, elle cesse lorsque l’on passe au niveau des molécules, qui n’ont aucune auto-similarité formelle avec le rocher lui-même. Le qualificatif « fractal » ne saurait donc être employé comme synonyme de « décomposable à l’infini », terminologie qui relève plus de l’acception « perceptuelle » du terme, que de son acception scientifique.

Mathématiquement, le corollaire de l’affinement de l’échelle d’observation réside dans le fait qu’aucune symétrie euclidienne connue n’est détectable en chaque fragment étudié. Les multiples niveaux mésoscopiques de la description, virtuellement infinis, ne semblent plus pouvoir être mis en corrélation hiérarchique continue, de même que les lois de la symétrie qui caractérisent généralement un objet dans sa totalité ne semblent plus pouvoir se révéler à travers les parcellisations de l’ensemble primitif. Tout fragment se manifeste comme une nouvelle totalité, en apparence (c’est-à-dire selon le point de vue adopté) étrangère morphographiquement à l’ensemble dont est extrait le détail. Mais un même ensemble fractal recèle en tous ses détails une parenté structurale définie par son unique mesure dimensionnelle. La loi d’unité morphologique reliant l’ensemble fractal choisi par « l’observateur » et ses parties n’est donc aucunement frappée de caducité, bien que l’aspect perceptuel de ces détails soit toujours différencié et indéfiniment varié, sous l’effet du jeu systématique des variations d’échelles d’examen.

Dans la nature physique, cependant, les niveaux d’observation ne sont pas infinis, à la différence d’un fractal mathématique, abstraction géométrique sans contrepartie dans le réel. Les physiciens distinguent, parmi les objets naturels, les multi-fractals (essentiellement des objets statistiquement auto-similaires) des fractals simples (principalement des objets dont les différentes échelles sont directement auto-similaires, ou résultent les unes des autres par transformation affine, sur le modèle du célèbre flocon de Von KOCH, parmi une infinité d’autres possibles).

La gravitation façonne l’univers en fractals

Les nuages interstellaires forment des entités imbriquées, de structure similaire sur plusieurs ordres de grandeur en taille. Quelle est l’origine de tels fractals ? Une nouvelle théorie fondée sur l’étude thermodynamique d’un milieu auto-gravitant fait apparaître de fécondes analogies avec les phénomènes critiques caractéristiques des changements de phase d’un système physique. Phénomènes qui se retrouvent à plus grande échelle, celle des amas et superamas de galaxies.

Notre Galaxie, la Voie lactée, est composée d’une centaine de milliards d’étoiles et de gaz d’hydrogène mêlé à de la poussière. Ce milieu interstellaire ne représente aujourd’hui que quelques pour-cent de la masse totale de la Galaxie. Au tout début de sa formation, le gaz était son constituant majoritaire, à partir duquel se sont formées les étoiles par effondrement gravitationnel. Aujourd’hui encore, il se forme quelques étoiles par an dans la Voie lactée.

Le milieu interstellaire est loin d’être un gaz homogène : il est distribué en nuages de toutes tailles, que l’on aperçoit dans le ciel comme des taches sombres devant les étoiles, car la poussière absorbe la lumière visible (voir photo ci-dessus). Les nuages de gaz sont d’autant plus denses qu’ils sont plus petits et, selon sa densité, le gaz est atomique ou moléculaire (H ou H2). Dans les nuages les plus denses, les nuages moléculaires, les éléments lourds formés au coeur des étoiles (carbone, oxygène, azote, etc.) se combinent en molécules, la plus abondante étant le monoxyde de carbone CO. Ces molécules émettent des raies d’émission caractéristiques dans les longueurs d’onde millimétriques. Ce sont elles qui sont à l’origine de nos connaissances du milieu, car la molécule principale H2 ne rayonne pas et reste indétectable aux températures très basses qui y règnent, de l’ordre de 10 kelvins.

Les raies moléculaires apportent deux types d’informations. Elles permettent, d’une part, de connaître par effet Doppler* la dynamique des nuages et, d’autre part, leur intensité est liée à la quantité de gaz sur la ligne de visée. On a pu ainsi relier la masse des nuages avec leur dispersion interne de vitesses*, et avec leur taille. Le résultat est que la masse M d’un nuage varie comme une loi de puissance avec sa taille r. En d’autres termes, M est proportionnelle à rD, avec D puissance non entière, à peu près égale à 1,7. Si le milieu était homogène, ou les nuages tous de même densité, D serait égal à 3, puisque nous sommes dans un espace à trois dimensions. Cette puissance non entière, inférieure à la dimension de l’espace, est caractéristique d’une structure fractale telle que Benoît Mandelbrot l’a définie en 1975.

La structure des nuages moléculaires est très hiérarchisée, en ce sens que les gros nuages sont en fait constitués de plus petites condensations, elles-mêmes contenant de petits fragments, etc., comme des poupées russes, sur au moins cinq à dix niveaux. Comme tout fractal, cette structure est self-similaire, c’est-à-dire qu’elle se reproduit avec le même aspect à toutes les échelles. Il est ainsi impossible de deviner la taille absolue d’un nuage observé si on ne connaît pas sa distance.

Les plus grands nuages observés ont une masse d’un million de masses solaires, et leur taille est de 300 années-lumière environ. Des nuages de taille supérieure ne peuvent se former : ils seraient cisaillés par les forces de marée dues à la Galaxie elle-même. De l’autre côté de la hiérarchie, quelle est la plus petite taille observée pour les nuages interstellaires ? Une première limite est donnée par la résolution spatiale* des télescopes, soit une fraction de seconde d’arc avec les interféromètres millimétriques*, ce qui correspond à une taille de quelques centaines d’unités astronomiques*. Plus récemment, grâce au réseau international VLBI ( Very Long Baseline Interferometry ) de télescopes distants de milliers de kilomètres, opérant en mode interférométrique à une résolution de l’ordre de la milliseconde d’arc, on a pu déterminer des tailles dix fois plus petites encore, de l’ordre de la dizaine d’unités astronomiques. De tels fragments ont une masse environ égale à celle de Jupiter. La hiérarchie des nuages est donc très contrastée : le rapport entre la plus petite et la plus grande taille est de l’ordre d’un million, et le rapport des masses d’un milliard.

Comment de telles structures ont-elles pu se constituer ? Sont-elles en équilibre et quel est leur rôle dans la formation d’étoiles ? Depuis longtemps, les astronomes savent que l’efficacité de formation d’étoiles à partir du milieu interstellaire est, de façon surprenante, très faible. Pourtant, le temps d’effondrement gravitationnel des nuages est très court, il va de 250 ans pour les plus petits fragments jusqu’à deux millions d’années pour les nuages moléculaires géants. Si l’effondrement se poursuivait jusqu’à la formation d’étoiles, il serait impossible d’expliquer la persistance de nuages de gaz dans la Galaxie depuis le début de sa formation, c’est-à-dire depuis une dizaine de milliards d’années. Mais à chaque échelle, l’effondrement est stoppé par l’agitation désordonnée des sous-fragments du nuage, équivalente à une » pression turbulente » qui contre-balance les forces de gravitation. Ces mouvements turbulents sont supersoniques et très dissipatifs : dans les ondes de choc qu’ils engendrent, l’énergie cinétique du nuage est dissipée très rapidement (à l’échelle d’un temps de chute libre*). La turbulence doit donc être entretenue en permanence. Mais par quel mécanisme ? Une des hypothèses proposées est que la formation même de jeunes étoiles au sein des nuages pourrait maintenir la turbulence par l’énergie dégagée sous diverses formes (jets bipolaires, vents stellaires, explosions de supernovae etc.). Cependant, la dispersion de vitesses observée dans les nuages moléculaires formant des étoiles est très semblable à celle des nuages calmes, qui n’en forment pas. Une telle solution ne peut donc être générale.

Et si finalement, la physique du milieu était beaucoup plus simple ? L’existence de lois d’échelle* dans ce milieu apparemment désordonné et chaotique nous a suggéré qu’une théorie fondée uniquement sur la gravitation pourrait sans doute expliquer les phénomènes. Une première étape consista à modéliser des nuages selon ce principe. La formation du fractal s’expliquerait par un processus d’instabilité gravitationnelle, suivie de fragmentation. Ce processus n’a pas d’échelle caractéristique et peut se poursuivre en cascade, pourvu que le gaz se maintienne à température constante (régime isotherme), c’est-à-dire qu’il soit capable d’échanger de l’énergie par rayonnement.

Un nuage de gaz, dans des conditions isothermes, comme c’est le cas pour le milieu interstellaire, a tendance à se concentrer et augmenter sa densité dans les parties centrales. Or le temps de chute libre est d’autant plus court que la densité est plus grande, et le nuage devient instable dès que le centre devient trop dense par rapport au bord : le nuage se fragmente en plusieurs morceaux (typiquement 5 à 10) plus denses, qui à leur tour vont se concentrer et ainsi de suite, de façon récursive. Il en résulte toute une hiérarchie de nuages, de plus en plus denses à chaque niveau. Cette fragmentation récursive s’arrête lorsque la densité est si grande que le gaz devient opaque à son propre rayonnement. Le gaz au centre des nuages, chauffé par le début d’effondrement gravitationnel, ne peut plus rayonner et évacuer sa chaleur ; la pression qui en résulte stabilise et empêche l’effondrement et la fragmentation. Du régime isotherme, le nuage passe à un régime adiabatique, c’est-à-dire qu’il ne peut plus échanger d’énergie avec l’extérieur. Les plus petits fragments prévus par ce modèle correspondent bien aux structures observées mentionnées plus haut, de masse égale à celle de Jupiter. Arrivés à cette taille, les fragments fusionnent par collisions pour former des structures plus grandes, et un équilibre statistique s’établit entre fusion et fragmentation. Il en résulte que la stabilité de l’ensemble des nuages est prolongée sur des échelles de milliards d’années. Les mouvements turbulents sont en permanence maintenus et régénérés par les instabilités gravitationnelles. La structure fractale hiérarchisée explique ainsi la stabilité de l’ensemble des nuages.

Ces premières modélisations ont donc montré que l’hypothèse selon laquelle seule la gravité pouvait être responsable de la structure fractale du milieu était plausible. Mais curieusement aucune théorie concernant un tel ensemble de fragments en équilibre quasi isotherme, de nombre variable, soumis uniquement à leur autogravitation, n’avait encore été développée. Nous avons donc étudié la thermodynamique du problème, très complexe a priori, puisque toute particule interagit avec toutes les autres. Mais il s’avère que les équations peuvent se simplifier et, surtout, nous avons pu montrer que le système est mathématiquement équivalent à celui d’un ensemble de moments magnétiques (spins), ou à un fluide dont l’état devient critique lors d’un changement de phase. Un des prototypes de ces phénomènes critiques est l’opalescence qui survient à la transition liquide-vapeur d’un fluide au point critique. Des fluctuations macroscopiques de densité se développent à toutes les échelles dans le fluide et réfractent la lumière, ce qui explique l’opalescence. L’étude des phénomènes critiques accompagnant les changements de phase a permis de comprendre toute une série de phénomènes, dès les années 1970-1980. Que ce soit dans des domaines physique ou biologique, les lois d’échelle et la formation de structures self-similaires peuvent s’interpréter de la même façon par des lois universelles, définissant des classes d’universalité ». En effet, les fluctuations qui se développent au point critique obéissent à des lois statistiques générales, indépendantes des forces microscopiques en jeu, et fonction seulement de la dimension de l’espace et des symétries des forces. Les exposants critiques, reliés à la dimension de la structure fractale obtenue, sont alors universels. Dans le cas du système autogravitant, la théorie prévoit que le milieu est critique quelles que soient les valeurs des paramètres externes (comme la température). Les fluctuations qui se développent à toutes les échelles, et qui correspondent aux nuages, sont alors prédites par la théorie, de même que la dimension fractale résultante, avec un bon accord avec les observations.

La théorie s’applique aussi aux galaxies prises comme un ensemble de points autogravitants. Celles-ci forment une structure hiérarchique, en s’agglomérant en groupes, amas et superamas. Entre la taille d’une galaxie, de l’ordre de 100 000 années-lumière, et celle des plus grandes superstructures observées (de l’ordre du milliard d’années-lumière), les galaxies forment une structure fractale, de dimension voisine aussi de D=1,7. Bien sûr le fractal n’est pas infini ; comme toutes les structures physiques réelles, il existe des bornes inférieure et supérieure en taille. Si la borne inférieure est ici l’échelle d’une galaxie, on ne connaît pas encore exactement la taille de la borne supérieure, mais on sait que l’Univers devient homogène à grande échelle, comme en a témoigné l’observation du fond de rayonnement cosmologique* à 3 kelvins par le satellite COBE. Cette homogénéisation à grande échelle s’explique par le fait que l’auto-gravité des structures n’est plus prépondérante devant l’expansion de l’Univers. A très grande échelle, la dimension D deviendra donc égale à 3. Déjà, dans les catalogues de galaxies existants, on décèle une augmentation sensible de D à grande échelle, mais avec beaucoup d’incertitude, car cela dépend du modèle d’Univers choisi (la distance attribuée à chaque objet dépendant de la courbure de l’Univers, de sa densité, de la constante de Hubble, etc., paramètres encore mal connus). L’échelle où se produit la transition vers un Univers homogène est aujourd’hui un point chaudement débattu, que les sondages à très grande échelle de millions de galaxies pourraient résoudre dans les toutes prochaines années.

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