Matière et Révolution

Henri Poincaré : trois corps entraînent le chaos déterministe

Robert Paris — 2024-09-12T22:05:00Z

Henri Poincaré Dans « Sciences et méthode » :

« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons connaître la situation initiale qu'approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c'est tout ce qu'il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu'il est régi par des lois ; mais il n'en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. »

Henri Poincaré invente le chaos déterministe

"Les comportements dynamiques chaotiques permettent de construire ce pont, que Boltzmann n'avait pu créer, entre la dynamique et le monde des processus irréversibles. La nouvelle représentation de l'objet dynamique, non locale et à symétrie temporelle brisée, n'est pas une description approximative, plus pauvre que la représentation classique. Elle définit au contraire cette représentation classique comme relative à un cas particulier. (…) Nous savons aujourd'hui que ces derniers (les systèmes non-chaotiques), qui dominèrent si longtemps l'imagination des physiciens, forment en fait une classe très particulière. (…) C'est en 1892, avec la découverte d'un théorème fondamental par Poincaré ( la loi des trois corps), que se brisa l'image homogène du comportement dynamique : la plupart des systèmes dynamiques, à commencer par le simple système « à trois corps » ne sont pas intégrables."

dans « Entre le temps et l'éternité » d'Ilya Prigogine et Isabelle Stengers

En 1889, le mathématicien et physicien Henri Poincaré cherchait à répondre lui aussi à cette question de la stabilité du système solaire. Son mémoire intitulé "sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique" remporta le prix du concours ouvert à Stockholm par le roi Oscar II entre les mathématiciens du monde entier, apportant à Poincaré une notoriété internationale. Et c'est dans l'étude du système solaire que l'on a découvert pour la première fois un phénomène chaotique ! En effet, il devait montrer que la gravitation avait beau obéir à des lois, celles-ci engendraient le chaos, cette imbrication d'ordre et de désordre que l'on appelle chaos déterministe. Je rappelle que déterministe signifie un phénomène issu de lois. Poincaré a ainsi montré que certaines lois non-linéaires, les lois de l'attraction universelle de Newton en l'occurrence, peuvent engendrer des mouvements chaotiques. Poincaré a également montré qu'un mouvement chaotique peut paraître stable durant quelques dizaines ou centaines de millions d'années avant de quitter la zone de stabilité appelée par lui « un îlot » de stabilité. Et pour cette étude il a considérablement simplifié le problème du système solaire. Il a étudié le mouvement de trois corps. Poincaré a ainsi découvert en étudiant mathématiquement la loi de Newton pour ces trois corps qu'on y trouvait des possibilités nombreuses de mouvements imprédictibles. Etonné et en même temps déçu, il aurait déclaré : « si j'avais su qu'en étudiant les lois de la physique on ne pourrait rien prédire, j'aurais préféré me faire boulanger ou postier que physicien et mathématicien ! »

Mais Poincaré avait rapidement compris que ce n'était pas une faiblesse personnelle qui l'empêchait ainsi de pénétrer le fonctionnement de la nature mais une propriété fondamentale de ce fonctionnement et de sa relation avec l'entendement humain. N'oublions pas que Poincaré, même s'il était un grand scientifique, a plutôt souligné le caractère humain et sensible de l'activité intellectuelle de la science. Je le cite commentant l'activité de la découverte scientifique et expliquant qu'entre deux périodes de travail conscient, il se réalise un travail inconscient. "Le moi inconscient ou, comme on dit, le moi subliminal, joue un rôle capital dans l'invention mathématique [...] le moi subliminal n'est nullement inférieur au moi conscient ; il n'est pas purement automatique, il est capable de discernement, il a du tact, de la délicatesse ; il sait choisir, il sait deviner. ... les phénomènes inconscients privilégiés, ceux qui sont susceptibles de devenir conscients, ce sont ceux qui, directement ou indirectement, affectent le plus profondément notre sensibilité. On peut s'étonner de voir invoquer la sensibilité à propos de démonstrations mathématiques qui, semble-t-il, ne peuvent intéresser que l'intelligence. Ce serait oublier le sentiment de la beauté mathématique, de l'harmonie des nombres et des formes, de l'élégance géométrique. C'est un vrai sentiment esthétique que tous les vrais mathématiciens connaissent." Je citait un passage du chapitre « L'invention mathématique », dans l'ouvrage « Science et méthode » de Poincaré.

Et l'un des résultats de ses travaux sera de relativiser le caractère purement objectif des énoncés scientifiques. Il montre que la science reste une conjecture et non un domaine du certain comme on l'a longtemps cru de façon un peu prétentieuse, à la suite de Laplace. Selon lui, la science est une activité humaine et la relation entre l'homme et la nature reste une recherche sans réponse finale. La meilleure preuve en est que ses propres travaux allaient être rapidement contredits puisqu'il concluait que le système solaire était stable ce que, par la suite, il allait lui-même corriger. Par contre, il a inventé à cette occasion la plupart des méthodes théoriques aujourd'hui appliquées dans un domaine qui n'existait pas à l'époque : l'étude des systèmes dynamiques, autrement appelée chaos déterministe. Il va notamment inventer des méthodes d'étude de systèmes pris dans leur ensemble sans étudier les éléments du système pris un par un, méthode particulièrement novatrice. Il va étudier non une seule trajectoire mais l'ensemble des trajectoires possibles et leur relation entre elles. Enfin, il va montrer que les phénomènes physiques sont du domaine de la géométrie et non des formules mathématiques. Je le répète, sa conclusion est qu'avec trois corps interagissant par attraction gravitationnelle on a déjà du chaos c'est-à-dire un phénomène obéissant à la propriété de la sensibilité aux conditions initiales : un tout petit changement de celles-ci peut entraîner un grand changement de la suite de l'évolution. Rappelons que cette thèse révolutionne la conception que l'on avait de la gravitation depuis Newton. Ce dernier pensait que si l'on connaissait précisément les positions et les vitesses de tous les corps célestes on pouvait connaître à tout moment la suite des positions. Poincaré infirme cette thèse. Essayons d'expliquer pourquoi.

Je vous rappelle que pour deux corps, du moment que l'on connaît la masse des deux corps et les données de position et de vitesse à l'instant initial on peut calculer les positions des deux corps à tout instant. On connaît en effet une solution analytique qui indique le mouvement et il y a une seule trajectoire possible qui est une ellipse. On pourrait imaginer que l'on est certain d'avoir une solution puisque l'on connaît les équations du mouvement mais ce n'est pas du tout le cas. La plupart des équations mathématiques non-linéaires n'ont pas du tout de solution ou ont une infinité de solutions. Une solution analytique est une formule qui indiquera positions et déplacements à tout instant. Les équations ne permettent pas de le dire. Les équations de Newton relient par une formule les diverses dérivées de ces quantités, c'est-à-dire position, vitesse et accélération. Lorsque l'on peut revenir des dérivées aux quantités elles-mêmes on dit que le système d'équations est intégrable mais généralement ce n'est pas le cas. Un exemple bien connu d'intégration est l'équation du mouvement d'un boulet de canon si on connaît la vitesse initiale et l'angle de lancement. Et justement dans le cas du système solaire, en se contentant de trois corps, Poincaré a montré que le système n'est pas intégrable. Il n'y a pas de solution analytique des équations de Newton du mouvement. Poincaré en a même expliqué la raison : il n'y a pas assez d'équations par rapport au nombre d'inconnues. Ce que l'on appelle les inconnues ce sont les positions des corps et leurs variations. Les équations indiquent la conservation d'un certain nombre de quantités qui ne peuvent que s'échanger et non diminuer ou augmenter : l'énergie, la quantité de mouvement et la quantité de rotation. Il a montré que la multiplicité des trajectoires très proches et imbriquées rend improbable que le système soit intégrable. Les équations ne sont pas assez nombreuses pour en déduire une solution. Il a également montré qu'il en découle une infinité de trajectoires possibles et que l'on n'a aucun moyen de trancher entre elles. En plus la proximité des trajectoires signifie qu'une petite perturbation peut faire sauter le corps d'une trajectoire à une autre imperceptiblement avec du coup un avenir tout à fait différent au bout d'un certain temps. Quelle en est la raison ? Dans le mouvement des trois corps, aucun n'est négligeable. A tout instant la position d'un corps et son mouvement sont modifiés par la position précédente d'un autre corps qui est elle-même modifiée par celle du troisième. C'est ce qui rend impossible les approximations. Impossible par conséquent de dire que tel objet est trop petit pour influencer le système sur le long terme. Impossible de dire que telle modification de distance est négligeable puisqu'elle peut entraîner un changement de trajectoire qui peut être considérable sur le long terme. Impossible même de distinguer l'une des planètes comme un objet indépendant du système. Impossible aussi de distinguer passé et présent. En effet, la position d'une planète dépend de l'ensemble des positions précédentes, de toute l'histoire passée du système. C'est ainsi que, pour prédire, il faudrait connaître avec une précision infinie l'ensemble des conditions précédentes et pas seulement les conditions initiales, c'est-à-dire à un instant donné, du système. Du coup, les trajectoires possibles étant infiniment proches les unes des autres, il suffit d'un petit changement dans les conditions initiales ou d'une petite imprécision pour changer relativement vite l'ensemble de l'histoire de tout le système. Poincaré venait de découvrir le premier domaine d'étude d'un phénomène d'un type nouveau : le chaos déterministe.

Parmi les successeurs des travaux de Poincaré, il convient d'abord de citer Kolmogorov, Arnold et Moser. Ces trois scientifiques vont reprendre le travail de Poincaré et montrer en 1962 dans un théorème appelé KAM de leurs initiales que, dans certaines conditions initiales particulières, il peut y avoir stabilité. Il y a alors des mouvements quasi périodiques et des perturbations suffisamment petites ne peuvent éloigner durablement la planète de sa trajectoire. . Ils ont donc fait la démonstration que, si les masses et les inclinaisons des ellipses parcourues restent faibles, ces trajectoires restent contraintes à n'évoluer qu'autour d'une espèce de tuyau refermé sur lui-même et appelé le tore. Cette contrainte entraîne une garantie de stabilité, une espèce de garde fou pour le mouvement. Mais le débat n'était pas achevé pour autant car d'autres physiciens allaient montrer que le théorème KAM s'applique bien à des interactions entre plusieurs corps mais pas au système solaire qui ne satisfait pas aux conditions initiales nécessaires. Ainsi, en 1998, les savants américains Sussman et Wisdom intègrent le mouvement de Pluton sur un ordinateur et ce mouvement s'avère chaotique. Ils démontrent que ce mouvement obéit à ce que l'on appelle la « sensibilité aux conditions initiales » ou encore la propriété de divergence exponentielle. Exponentielle signifie ici qu'une perturbation au lieu d'additionner ses effets les multiplie et c'est là que réside la source du chaos. En effet, ces deux scientifiques ont calculé que l'incertitude sur les conditions initiales est multiplié par trois tous les 20 millions d'années. Cela signifie qu'en 400 millions d'années, durée sur laquelle on cherche à obtenir une réponse de stabilité, la position de Pluton est complètement imprédictible. L'incertitude est en effet multipliée par trois à la puissance vingt soit 3.486.784.401. Une erreur d'un centimètre se traduit au bout de 400 millions d'années par une modification du résultat de trois milliards et demi de centimètres ! ! Mais c'est surtout dans la foulée des travaux de Jacques Laskar, directeur de recherches au bureau des longitudes de Paris qu'ont été faites les principales découvertes tendant à prouver le caractère chaotique du système solaire. Il a notamment mis en équation le calcul des perturbations qui permet d'extrapoler pour trouver les positions des planètes et il a montré que ce calcul n'était pas valable sur un temps de plusieurs centaines de millions d'années. Les calculs que nous faisons pour positionner les planètes ne sont pas faux mais ils ne sont pas extrapolables pour en déduire la position d'une planète sur une aussi longue durée. La raison ne provient pas d'une erreur ni d'une approximation mais du principe lui-même du calcul. Toute petite approximation entraîne sur un temps aussi long une modification considérable du fait du caractère exponentiel des divergences. Comment ces perturbations peuvent-elles se multiplier ainsi au lieu de simplement s'additionner ? L'explication provient de la rétroaction qui se produit parfois entre deux trajectoires, c'est-à-dire qu'elles ont des fréquences que l'on dit accrochées ou en résonance. Sont en résonance deux phénomènes réguliers dont les périodes sont dans un rapport simple par exemple un sur deux ou trois sur cinq. Dès que deux phénomènes sont dans ce cas, ils interagissent bien plus que la proportion de leur cause. C'est ce qui se produit avec une personne poussant en résonance une balançoire. Cela a pour effet d'accumuler des effets d'entraînement pouvant aller jusqu'au tour complet. Or le rapport entre les périodes des mouvements de Saturne et Jupiter autour du Soleil est exactement dans la fraction 2 sur 5. Cela signifie qu'ils vont se trouver à intervalle régulier dans des positions susceptibles de déformer leurs trajectoires et toujours dans le même sens. On constate d'autres résonances dans les mouvements planétaires comme la résonance entre les mouvements de précession des orbites de la terre et de Mars, comme la résonance entre les mouvements de précession de Mercure, Vénus et Jupiter. La précession est l'un des paramètres caractérisant le mouvement d'une planète. Du coup, il est difficile de dire si une forte augmentation de l'excentricité du mouvement elliptique d'une planète ne serait pas possible dans un intervalle de cent millions d'années, augmentation pouvant donner une énergie suffisante pour que cette planète sorte du système solaire. L'augmentation de l'excentricité du mouvement elliptique peut causer un choc entre deux planètes comme le montrent les extrapolations de calcul effectuées par Laskar dans une simulation sur ordinateur des équations sur dix milliards d'années. Ce seraient également ces mouvements chaotiques causés par des résonances qui expliqueraient la capacité de certaines trajectoires d'entraîner le corps hors du système, expliquant ainsi les trous dans la ceinture de Kirkwood des astéroïdes (un million de blocs rocheux de moins d'un kilomètre de diamètre qui voyagent entre Jupiter et Mars.)

Henri Poincaré, le problème des trois corps, par Hadamard

LE PROBLÈME DES TROIS CORPS

Si on se rappelle[1] à quel point l'œuvre de Poincaré est comme adéquate à toute la science mathématique, pure ou appliquée, que notre époque a produite, et la pénètre dans toutes ses manifestations, on aura compris par avance que la partie en quelque sorte centrale de cette œuvre corresponde au problème qui joue lui-même le rôle principal dans les mathématiques modernes. Ce problème, que les applications au monde physique ont imposé dès la création du calcul infinitésimal, est l'intégration des équations différentielles et aux dérivées partielles.

« … Les efforts des savants ont toujours tendu à résoudre le phénomène complexe donné directement par l'expérience en un nombre très grand de phénomènes élémentaires. »

« Et cela,… d'abord dans le temps. Au lieu d'embrasser dans son ensemble le développement progressif d'un phénomène, on cherche simplement à relier chaque instant à l'instant immédiatement antérieur ; on admet que l'état actuel du monde ne dépend que du passé le plus proche, sans être directement influencé, pour ainsi dire, par le souvenir d'un passé lointain. Grâce à ce postulat, au lieu d'étudier directement toute la succession des phénomènes, on peut se borner à en écrire « l'équation différentielle » ; aux lois de Képler, on substitue celle de Newton[2] ».

Les lois physiques, — ou plutôt les hypothèses physiques — qui servent de point de départ font donc connaître directement le devenir d'un phénomène ou, suivant une expression qui a cours en mathématiques, font connaître des propriétés de sa variation instantanée (par exemple, de la vitesse d'un point ou de son accélération). Ceci, autrement dit, donne des relations entre états infiniment voisins de ce phénomène.

Ces relations dont nous essaierons plus loin de donner une idée par quelques exemples simples[3], s'appellent des équations différentielles. Il reste à les intégrer, c'est-à-dire à déduire de ces relations entre états infiniment voisins, celles qui existent entre deux états quelconques, l'un considéré comme initial, l'autre comme final, du même phénomène. Or, sauf dans des cas tout exceptionnels, ce problème offre de hautes difficultés.

Encore ce que nous venons de dire suppose-t-il que la décomposition en phénomènes élémentaires, dont nous parlions tout à l'heure avec Poincaré, se fasse exclusivement dans le temps.

C'est le cas du mouvement simultané des planètes qui composent le système solaire, lorsque l'on considère chacune d'elles comme réduite à un simple point. Ces différents points, qui sont en nombre fini, sont supposés s'attirer d'après la loi classique de Newton, et ceci donne des relations entre leurs positions et leurs vitesses à un instant déterminé quelconque, d'une part ; de l'autre, la manière dont ces mêmes éléments varient lorsqu'on passe de cet instant à un autre infiniment peu postérieur au premier.

Le système varie bien dans l'espace, mais sa position n'est fonction que d'une variable, le temps.

On arrive encore à traiter d'une manière analogue le cas où on regarderait ces mêmes planètes non plus comme des points, mais comme des corps solides, de manière à tenir compte de leurs mouvements de rotation.

Mais lorsqu'on étudie les mouvements de milieux continus (autres que des solides indéformables), la décomposition en phénomènes élémentaires doit se faire à la fois dans le temps et dans l'espace[4] grâce au fait que chaque molécule est directement influencée par les molécules voisines. Les équations, dites « aux dérivées partielles », auxquelles on est conduit dans ces nouvelles conditions, sont d'un ordre de difficulté encore supérieur aux premières.

Non seulement la Physique, mais la Mécanique céleste elle-même posent des problèmes de cette sorte. Tel est (avec des difficultés toutes spéciales d'ailleurs), celui de la figure d'équilibre d'une masse fluide en rotation, sur lequel le lecteur est renseigné par l'étude de M. Volterra. Tel est aussi celui des marées.

En ce qui regarde la Physique, il faut, il est vrai, noter que l'évolution produite par les théories moléculaires, — évolution que Poincaré, jusqu'à son dernier jour, sut suivre et diriger comme toutes les autres — tend dans une certaine mesure à modifier ce qui précède.

Tout d'abord, les molécules étant assimilées le plus souvent soit à des points, soit à des solides, soit à des systèmes planétaires, leurs mouvements sont régis, non par des équations aux dérivées partielles, mais par des équations différentielles ordinaires ; il devrait en être ainsi, au moins en théorie, des phénomènes qui résultent de ces mouvements.

Il y a plus : une nouvelle hypothèse paraît s'imposer, celle des « quanta », d'après laquelle, au sein de cette matière discontinue, les actions mutuelles entre molécules ne s'opéreraient elles-mêmes que par degrés discontinus. S'il en était ainsi, les équations différentielles elles-mêmes seraient (toujours en théorie) éliminées à leur tour et remplacées par d'autres qui ne relèveraient plus du calcul infinitésimal, attendu qu'elles se rapporteraient à des variations très petites, mais non pas infiniment petites.

Nous disons : en théorie, car il ne faudrait pas s'imaginer que cette mise hors de cause des équations différentielles et aux dérivées partielles soit définitive, ni surtout que les nouvelles conditions où se place l'hypothèse des quanta aient pour effet de simplifier le problème mathématique. Bien au contraire, étant donné que le nombre des molécules d'un corps, tout en étant fini, est énorme ; que, de même, dans l'hypothèse des quanta, les changements successifs qui interviennent dans l'état d'une molécule quelconque, tout en cessant d'être infiniment petits et infiniment nombreux, restent extrêmement petits et extrêmement nombreux, la meilleure, la seule marche à suivre pour débrouiller l'inextricable complication des équations ainsi écrites consiste à profiter des relations — que Poincaré lui-même eut l'occasion d'éclairer à plusieurs reprises et même dès ses premiers travaux — entre la catégorie générale à laquelle appartiennent ces équations[5] et celles des équations différentielles ou aux dérivées partielles. C'est en définitive, à l'un ou à l'autre de ces deux derniers types que l'on est encore ramené.

Quoi qu'il en soit, nous nous proposons ici de rappeler quelques-uns des plus grands progrès dus à Poincaré dans l'étude des équations différentielles.

Nous ne nous occuperons pas des équations aux dérivées partielles : nous pouvons, en effet, renvoyer le lecteur à l'étude de M. Volterra en ce qui concerne leur intervention en physique mathématique, comme ce qui concerne la figure des planètes (figure des fluides en rotation) ; et quant à la théorie des marées, c'est-à-dire de l'oscillation des mers, les méthodes qu'il lui a appliquées peuvent se comparer — à des distinctions près dans le détail desquelles il nous serait tout à fait impossible d'entrer ici — à celles mêmes qui conviennent aux problèmes de physique vibratoire (vibrations de membranes[6], etc.), avec cette différence qu'il utilisa, dans l'étude du mouvement des mers, non seulement les méthodes qu'il avait découvertes, mais, à partir des travaux de M. Fredholm, celle des équations intégrales, dont il sut mieux que personne utiliser les précieuses ressources.
⁂

Nous parlerons donc de la théorie des équations différentielles ordinaires.

Il y eut pour celle-ci, comme pour tout le calcul infinitésimal, un âge d'or : celui où la solution des problèmes que l'on se posait pouvait, à l'aide des moyens que les géomètres possédaient à cette époque, être menée jusqu'au bout, de manière à donner d'un seul coup satisfaction complète à l'esprit.

Rappelons grâce à quelle circonstance cette solution se trouvait avoir toute la simplicité voulue.

Soit un système d'équations différentielles auquel doit satisfaire, par exemple, le mouvement d'un certain système de points. Parmi les conséquences que l'on peut tirer des équations données, certaines peuvent exprimer qu'une ou plusieurs quantités convenablement choisies, fonctions de la position du système, restent forcément constantes pendant tout le cours de son mouvement. On dit que ces quantités sont autant d'intégrales des équations différentielles données[7]

Par exemple, dans le mouvement simultané des planètes du système solaire (pourvu qu'on ne tienne pas compte de l'action des étoiles fixes et autres corps célestes n'appartenant pas à ce système) la vitesse du centre de gravité de l'ensemble des corps qui le composent reste constante en grandeur et en direction.

Comme cette vitesse peut être considérée comme définie par ses composantes suivant trois directions fixes différentes, on a ainsi trois intégrales du système. On peut d'ailleurs aisément en déduire trois autres du même fait, puis en obtenir encore quatre par d'autres considérations.

Lorsque le nombre de ces intégrales est suffisant, elles permettent d'obtenir complètement la solution. Ce fut le cas pour les systèmes différentiels correspondant aux premiers problèmes — particulièrement de mécanique — auxquels on s'adressa.

Mais la liste de ces cas simples fut vite épuisée. En général, le nombre des intégrales connues[8] est insuffisant.

Par exemple dans le cas du système solaire, nous avons dit qu'il était de dix, au lieu que, — même en réduisant le soleil et les planètes et leurs satellites à de simples points — il en faudrait, à deux unités près, six fois autant qu'il y a de corps en présence.

C'est bien ce qui aurait lieu s'il n'y avait que deux corps en tout ( 2 × 6 − 2 = 10 ) , \displaystyle (2\times 6-2=10), \displaystyle (2\times 6-2=10), par exemple le Soleil et une planète. Aussi ce premier cas est-il, depuis Newton, du domaine des mathématiques élémentaires. Mais dès l'intervention d'un troisième corps, — astronomiquement parlant, dès que, sur une planète, agit, en même temps que le Soleil, la masse « perturbatrice » d'une autre planète. — il en est tout autrement.

Le « problème des trois corps » — et, à plus forte raison, le « problème des n corps » — offrent toutes les difficultés du problème général des équations différentielles.

Ces difficultés résident dans le fond des choses. Les conclusions même obtenues par Poincaré nous expliquent, comme nous aurons l'occasion de le dire plus loin, pourquoi ces problèmes généraux exigent des méthodes non seulement distinctes, mais profondément différentes de celles qui avaient suffi tout d'abord.

Nous sommes loin d'avoir surmonté un tel obstacle. Mais là même où nous y sommes arrivés, ce n'a été, le plus souvent, et ce ne pouvait être qu'en modifiant profondément nos idées sur ce qu'il faut entendre par « solution ».

Celles que nous avons acquises aujourd'hui se résument toutes dans la forte parole que Poincaré prononçait en 1908[9].

« Il n'y a plus des problèmes résolus et d'autres qui ne le sont pas, il y a seulement des problèmes plus ou moins résolus », — c'est-à-dire qu'il y a des solutions donnant lieu à des calculs plus ou moins simples, nous renseignant plus ou moins directement et aussi plus ou moins complètement sur l'objet de notre étude.

On comprend ainsi que, comme Poincaré le rappelle dans la même conférence, Newton ait pu se vanter de savoir intégrer toutes les équations différentielles, tandis que nous en sommes encore aujourd'hui à chercher les moyens de rendre nos connaissances à cet égard un peu moins imparfaites.

⁂

Il est clair que, dans ces nouvelles conditions, la question peut être envisagée à des points de vue divers, et les recherches poursuivies dans diverses directions.

Poincaré a suivi toutes les voies indiquées par ses prédécesseurs. — On peut dire qu'il n'en est aucune où il n'ait fait faire un pas important. Mais il en ouvrit aussi d'autres qui se séparent entièrement des premières.

Celles-ci ont, en effet, toutes un même caractère commun.

Comme le chapitre dû à M. Volterra[10] l'a rappelé au lecteur, c'est surtout par l'introduction des variables imaginaires que le problème des équations différentielles — et beaucoup d'autres, d'ailleurs, — ont été attaqués. Ce point de vue, au premier abord artificiel, est en général si fécond, il fait ordinairement jaillir une telle lumière qu'il fut, depuis Cauchy jusqu'en 1881, presque le seul auquel on songea à demander des résultats importants.

Poincaré, lui aussi, comme on a pu le voir dans l'exposé que nous venons de citer, obtint à son tour par cette voie de nouvelles conquêtes, les plus belles qu'on ait pu admirer depuis longtemps puisque, avec les fonctions fuchsiennes, il a pu intégrer une des classes les plus importantes d'équations différentielles, les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques, c'est-à-dire l'immense majorité des équations différentielles linéaires auxquelles la pratique peut conduire.

Mais en même temps, il apprit aux géomètres à se placer au point de vue opposé.

Aussi bien et mieux que les plus grands, il mania l'instrument légué par Cauchy, Riemann et Weierstrass. Mais il montra que, tout admirable qu'il soit, cet instrument ne suffit pas à tout et ne s'adapte pas à tous les aspects du problème.

Donc Poincaré, dans quatre mémoires fondamentaux sur les courbes définies par les équations différentielles, cesse de considérer indifféremment les solutions réelles ou les solutions imaginaires des équations qu'il traite, et s'attaque exclusivement aux solutions réelles.

Bien entendu, les questions qu'il faut se poser, dans ces nouvelles conditions, ne sont pas les mêmes auxquelles s'appliquait l'ancien point de vue.

Celui-ci était et reste le seul fécond pour l'étude « formelle » des solutions, pour la recherche des catégories de fonctions, si tant est qu'on en puisse trouver, qui peuvent servir à les exprimer exactement. Quand on a en vue cette étude, tout s'éclaire par l'introduction des variables imaginaires, tout n'est qu'obscurité si on les laisse de côté.

Mais dès que (comme il arrive dans le cas général) on cesse d'obtenir, dans cette voie, la solution complète, celle qui dispenserait de toute autre, Poincaré établit une distinction fondamentale. Dans la solution de tout problème mathématique, dès que cette solution n'est pas immédiate, il met en évidence deux grandes étapes, l'une que l'on peut appeler qualitative, l'autre quantitative.

« Ainsi, par exemple, pour étudier une équation algébrique, dit-il, on commence par rechercher, à l'aide du théorème de Sturm, quel est le nombre de racines réelles : c'est la partie qualitative ; puis on calcule la valeur numérique de ces racines, ce qui constitue l'étude quantitative de l'équation. De même pour étudier une courbe algébrique, on commence par construire cette courbe, comme on dit dans les cours de mathématiques spéciales, c'est-à-dire qu'on cherche quelles sont les branches de courbes fermées, les branches infinies, etc. Après cette étude qualitative de la courbe, on peut en déterminer exactement un certain nombre de points. »

« C'est naturellement par la partie qualitative qu'on doit aborder la théorie de toute fonction et c'est pourquoi le problème qui se présente en premier lieu est le suivant : Construire les courbes définies par des équations différentielles. »

« Cette étude qualitative, quand elle sera faite complètement, sera de la plus grande utilité pour le calcul numérique de la fonction. »

« … D'ailleurs, cette étude qualitative aura par elle-même un intérêt de premier ordre. Diverses questions fort importantes d'analyse et de mécanique peuvent en effet s'y ramener. Prenons, par exemple, le problème des trois corps : ne peut-on se demander si l'un des corps restera toujours dans une certaine région du ciel, ou bien s'il pourra s'éloigner indéfiniment, si la distance de deux corps augmentera ou diminuera à l'infini, ou bien si elle restera comprise entre certaines limites. »

Ceci n'est autre chose que le célèbre problème de la Stabilité du système solaire, c'est-à-dire la question de savoir si, au cours des siècles, les dimensions des orbites planétaires varieront peu ou si, au contraire, ces orbites n'iront pas soit se perdre à l'infini, soit se précipiter sur le soleil.

Il n'en est aucune qui préoccupe davantage la Mécanique céleste, et il faut convenir que l'ignorance où nous sommes encore à cet égard est la meilleure preuve de l'étendue des progrès que cette science a encore pu faire.

Il est vrai que le problème ainsi posé est tout théorique. Comme Poincaré l'a victorieusement démontré[11], si l'on peut pendant un certain temps, réduire, sans trop d'erreur, les planètes et leurs satellites à autant de points mathématiques, l'influence des éléments ainsi négligés (les marées, entre autres, en raison du frottement qu'elles produisent), insignifiante au début, ne peut manquer de devenir prépondérante en fin de compte et de bouleverser totalement les conclusions.

Dans ces conditions, les gens pratiques peuvent être tentés de mépriser ce problème théorique. Il leur est permis, évidemment, de penser qu'il doit, suivant un mot connu, constituer « l'essai, non l'emploi de notre force ». Mais, même à ce titre, il mérite encore de provoquer, — tout en les défiant jusqu'ici — tous les efforts des astronomes. Il doit être considéré comme inséparable de l'objet même de la Mécanique céleste.

Or, ce problème, nous venons de le voir, est essentiellement un problème qualitatif. Son exemple suffit à montrer l'importance de cette catégorie de questions.

Celles-ci ne relèvent plus, en principe, de l'introduction des imaginaires.

Mais une fois entraînée hors de ce terrain si bien exploré par tous les géomètres de la fin du XIXe siècle et par Poincaré lui-même, une fois privée du seul auxiliaire dont, pour ainsi dire, on se fût servi depuis plus d'un quart de siècle, auxiliaire dont la puissance s'était à mainte reprise montrée presque miraculeuse, la Science ne se trouvait-elle pas singulièrement désemparée ?

Ce que furent les nouvelles méthodes que Poincaré eut à créer de toutes pièces, nous ne pouvons songer à le faire comprendre ici. Nous pouvons toutefois en indiquer dès maintenant un caractère qui, s'il ne leur est pas entièrement propre, n'avait existé que très exceptionnellement et très fugitivement dans les méthodes antérieures.

Il consiste, étant donné que le problème a plusieurs solutions, — et même une infinité de solutions — à cesser de porter son attention exclusivement sur une seule d'entre elles pour considérer, au contraire, les relations que ces solutions ont les unes avec les autres.

Pour nouvelle qu'elle fût, ou à bien peu près, dans la question qui nous occupe, cette conception était déjà intervenue dans d'autres chapitres des mathématiques.

L'un d'eux est la résolution algébrique des équations, qui parut d'abord consister en la recherche d'une racine déterminée de l'équation proposée. Cette théorie ne passa d'un état en quelque sorte empirique à l'état de perfection logique où l'amenèrent Lagrange, Rufini, Abel, Cauchy, Galois que lorsque l'on se décida, au contraire, à envisager simultanément toutes les racines cherchées. C'est en examinant les relations qui existent entre elles que furent conquis les principes modernes par lesquels dans cette question, tout s'éclaire, tout s'explique et se prévoit.

Dans les premières recherches sur les équations différentielles, on avait généralement étudié une à une les intégrales d'une équation différentielle donnée quelconque : en examinant chacune d'elles, on avait fait abstraction de toutes les autres.

Les mémoires sur les courbes définies par les équations différentielles vinrent montrer que ce point de vue était insuffisant et que les solutions d'un système d'équations différentielles, comme les racines d'une équation algébrique, devaient, même en vue de l'intelligence de chacune d'elles, être envisagées dans leurs rapports mutuels.

Il n'est pas inutile de remarquer qu'il en est déjà ainsi dans une des théories dont il avait été parlé précédemment, celle de la figure d'équilibre du fluide en rotation. En lisant l'exposé de M. Volterra, on se convaincra que tous les progrès réalisés par Poincaré sur cette question sont dus à ce qu'il n'envisage pas une figure d'équilibre, un ellipsoïde de Maclaurin ou de Jacobi déterminé, en elle-même, mais bien dans ses relations avec les figures d'équilibre voisines. La notion fondamentale d'équilibre de bifurcation et toutes celles qui en dérivent ont évidemment cette signification.

Si nous voulons essayer d'entrevoir comment cette idée première fut mise en exécution, il nous faut appuyer une figuration géométrique à notre secours.

Plusieurs exemples permettent de se représenter géométriquement une intégration d'équations différentielles, et il est même commode d'avoir plusieurs de ces représentations à sa disposition.

Tout le monde connaît aujourd'hui le « spectre magnétique » que l'on obtient en plaçant un aimant sous une feuille de papier saupoudré de limaille de fer.

Chaque brin de limaille s'aligne suivant une direction (celle de la force magnétique) parfaitement déterminée par l'endroit où il se trouve et, comme ces brins sont petits, l'ensemble de ceux qui se mettent bout à bout dessine à peu près une ligne courbe, dite ligne de force ; il la dessinerait exactement si les brins de limaille étaient infiniment petits.

D'autres lignes de force voisines de la première sont dessinées à côté d'elle, par d'autres brins de limaille. Elles ne la croisent d'ailleurs jamais, ni ne se croisent entre elles, à deux exceptions près : toutes ces lignes convergent, dans un sens, vers le pôle nord, dans l'autre vers le pôle sud de l'aimant.

En langage mathématique, ces lignes de force sont les diverses courbes intégrales d'une même équation différentielle du premier ordre. Les pôles de l'aimant sont des points singuliers[12] de cette équation.

On pourrait d'ailleurs se figurer celle-ci sous le point de vue que nous avions adopté tout à l'heure, c'est-à-dire la considérer comme définissant un mouvement. Il suffit d'imaginer un insecte très petit, qui, en tout point où il se trouve, se meut dans la direction de la force magnétique en ce point. Cette direction changeant au fur et à mesure du mouvement, il ne suivrait pas, bien entendu, une ligne droite, mais une courbe qui est la ligne de force.

Un autre exemple suffisamment connu est celui des « lignes de plus grande pente » que l'on peut tracer sur un terrain. La direction d'une telle ligne en un point quelconque est celle suivant laquelle se mettrait à descendre une goutte d'eau abandonnée en ce point. S'il se faisait (grâce à la faiblesse de la pente, au frottement, etc…) que cette goutte d'eau, dans sa descente, n'acquière jamais de vitesse notable, sa trajectoire dessinerait précisément une ligne de pente.

Comme les lignes de force de tout à l'heure, ces lignes de pente ne se croisent pas, du moins en plein parcours. Deux gouttes d'eau cheminant comme il vient d'être indiqué (toujours sans acquérir de vitesses notables) ou bien suivent la même ligne de pente de manière à ce que l'une suive exactement les traces de l'autre, ou bien se meuvent à côté l'une de l'autre sans que leurs routes se rencontrent jamais (du moins au sens exact, mathématique du mot[13]). Elles ne peuvent se retrouver qu'en arrivant à un fond (tel que le serait par exemple, le fond d'un lac) où elles s'arrêteraient toutes deux.

Par analogie avec ces fonds, il est des points à partir de chacun desquels divergent une infinité de lignes de pente : ce sont les sommets de collines ou de montagnes.

Fonds et sommets sont évidemment ici des points singuliers tout analogues à ceux que représentaient tout à l'heure les pôles d'aimant. Mais ici, une autre espèce de points singuliers peut intervenir : ce sont les cols[14]. Par chacun de ceux-ci (s'il en existe) passent deux lignes de pente : l'une qui suit successivement les deux vallées qui sépare le col, l'autre qui suit la crête ainsi franchie.

On peut également sur un terrain, ou, ce qui revient au même sur une carte topographique, considérer comme définies par une équation différentielle (mais cette fois par une équation différentielle que l'on sait immédiatement intégrer) les lignes de niveau ou sections horizontales de la surface, lignes dont chacune coupe à angle droit la ligne de pente qui passe par un quelconque de ses points. Pour ces lignes de niveau, qui sont des courbes fermées, les sommets ou les fonds sont (suivant la terminologie qu'emploiera Poincaré) des centres, c'est-à-dire que les lignes de niveau suffisamment voisines de l'un d'eux l'entoureront, en s'entourant elles-mêmes mutuellement.

Une dernière image de lignes que l'on peut considérer comme satisfaisant à un même système différentiel est fournie par certains cours d'eau, dont la surface, alors même que le mouvement y est parfois assez rapide, paraît immobile, quoique ondulée : cela tient à ce que la place de chaque molécule d'eau qui avance est immédiatement prise par une autre qui suit exactement le même chemin. C'est ce que l'on appelle un mouvement permanent. Il est clair que, sur cette surface liquide, les différentes lignes suivies par les gouttes d'eau ont une disposition assez semblable aux précédentes, de sorte que l'on peut encore les considérer comme vérifiant une même équation différentielle du premier ordre. Il n'y a plus, cette fois, de points singuliers jouant le rôle de nos pôles d'aimant, mais il peut se produire dans le liquide un tourbillon, un maëlstrom en miniature, qui jouera le rôle d'un centre[15].

D'autre part, le mouvement sera également permanent dans la profondeur même du liquide de sorte qu'on y pourra tracer encore une infinité de lignes dont chacune sert de route commune à une infinité de molécules cheminant les unes derrière les autres tout comme si elles se mouvaient dans un même tube très fin. Ces lignes peuvent encore être traitées comme les précédentes, mais comme elles remplissent un espace au lieu de recouvrir simplement une surface, il faudrait les définir par un système de deux équations différentielles du premier ordre, ce qui équivaut à un « système différentiel du second ordre ».

Les équations différentielles de la mécanique céleste, lesquelles sont en bien plus grand nombre, sont elles-mêmes susceptibles d'une représentation géométrique de cette espèce. Mais elle nécessite l'emploi d'espaces à un grand nombre de dimensions.

Poincaré s'attaque d'ailleurs tout d'abord au cas le plus simple par lequel nous avons commencé, celui d'une seule équation. Conformément à ce qui précède, celle-ci peut être considérée comme définissant un système de lignes à tracer sur une surface donnée.

Dans des cas très généraux, on peut admettre que cette surface est une sphère[16].

La propriété qui servira de point de départ sera alors celle sur laquelle nous avons déjà insisté tout à l'heure, savoir :

Deux courbes intégrales différentes ne peuvent se croiser, si ce n'est en un point singulier.

Les positions de ces points singuliers sont d'ailleurs connues à l'avance. Le premier soin de Poincaré fut l'examen de ce qui se passe aux environs de l'un d'entre eux. Il en trouva, conformément à ce que nous avons vu jusqu'ici, plusieurs espèces :

Les nœuds : c'est le rôle que jouent les pôles d'aimant dans notre premier exemple, les fonds et les sommets du terrain dans le second ;

Les cols, tels que nous les avons vus s'introduire à propos des lignes de pente ;

Les centres (exemple : un fond ou un sommet pour les lignes de niveau) ;

Enfin, une dernière catégorie : les foyers (voir la note de la page précédente).

En dehors de ces points, on peut utiliser la propriété fondamentale rappelée il y a un instant. Ce point de départ si ténu qu'il soit, donne à lui tout seul la solution du problème difficile qui nous occupe. Il suffit à cet effet, de l'appliquer non seulement à des courbes intégrales complètement différentes, mais à des arcs convenablement choisis d'une même courbe intégrale.

Mais si la méthode employée est, au fond, très simple, les résultats sont tout à fait imprévus et montrent que la solution n'était aucunement préparée par toutes nos connaissances antérieures sur ce sujet.

Les premiers exemples que l'on fut tenté d'invoquer, pour se faire une idée de la forme affectée par les courbes intégrales d'une équation différentielle, étaient évidemment fournis par les équations que l'on sait intégrer.

Or, la discussion de celles-ci conduit à des résultats qui se ressemblent tous, à bien peu de chose près. Pour nombre rentre elles, les choses se passent purement et simplement comme dans les courbes de niveau : toutes les courbes intégrales sont fermées. Tous les autres exemples où les calculs peuvent être menés jusqu'au bout rentrent dans deux ou trois catégories où il semble — si l'on veut me permettre ce langage très fantaisiste — que la nature ait peu varié ses effets.

Elle n'a pas, en réalité, l'imagination aussi pauvre. C'est ce que l'on reconnaît dès l'exemple des lignes de pente. Ici on ne peut déjà plus, en général, obtenir l'intégrale élémentairement ; mais il est évident que les lignes en question partent des sommets et aboutissent aux fonds (exception étant faite, toutefois, pour certaines d'entre elles, dites « lignes de faîte », qui aboutissent à un col).

Seulement, il y a, en général, plusieurs fonds et plusieurs sommets, et c'est l'un ou l'autre des fonds qui sert d'arrivée, suivant celle des courbes intégrales que l'on envisage : le passage des courbes qui aboutissent à un fond déterminé à celles qui aboutissent à un fond voisin se fait par l'intermédiaire d'une ligne de faîte.

Des dispositions de cette espèce sont déjà peu usuelles pour les équations différentielles dont l'intégrale générale a pu être écrite élémentairement.

Mais les résultats obtenus par Poincaré dans le cas général présentent un degré de complication de plus. Il existe alors un certain nombre de courbes intégrales qui sont des courbes fermées (des cycles, suivant la terminologie qu'il emploie). Toutes les autres, sauf celles qui aboutissent à des points singuliers[17], s'enroulent autour de certains de ces cycles (dits cycles limites) en s'en rapprochant de plus en plus, à la façon du spiral d'une montre. L'enroulement a d'ailleurs lieu autour de l'un ou de l'autre des cycles limites suivant que la courbe intégrale considérée est située dans l'une ou l'autre de certaines régions de la sphère.

Rien de tout cela ne pouvait être prévu à l'aide des exemples traités antérieurement. Non seulement ceux-ci donnaient une idée fausse des choses ; mais, on le remarquera, il était inévitable qu'il en fût ainsi.

Nos résultats sont, en effet, plus encore que tout à l'heure, contradictoires avec l'existence d'une intégrale générale que l'on puisse écrire avec les procédés élémentaires. Ils ne pouvaient, par conséquent, se rencontrer dans les problèmes que l'on avait résolus avant Poincaré. L'opinion s'était faite, jusque-là sur des figures exceptionnelles, dégénérées en quelque sorte, parce que c'étaient les seules que l'on avait su tracer.

Ces résultats, si extraordinaires, demandaient à être complétés par la recherche effective des cycles limites lorsque l'équation est donnée. C'est une question d'une extrême difficulté, même si l'on entend se borner à une détermination approximative.

Poincaré triomphe, totalement ou partiellement, suivant les cas, de cette difficulté en introduisant un second principe qui sert de fondement à toutes les autres recherches sur ce sujet.

Géométriquement parlant, il consiste à considérer le sens dans lequel une ligne prise arbitrairement est traversée par la courbe intégrale qui passe en un quelconque de ses points. Ce sens est connu, c'est-à-dire que si, par exemple, la ligne en question est fermée et limite une certaine aire de la sphère, on sait en chaque point si la courbe intégrale trouve cette ligne pour entrer dais l'aire ou pour en sortir. On est ainsi conduit à donner une importance particulière aux lignes « sans contact », le long desquelles ce sens ne peut changer.

⁂

Nous avons parlé jusqu'ici de figures tracées sur la sphère. Mais, par cela même que toutes nos conclusions sont qualitatives, elles ne changeront pas si nous déformons progressivement cette sphère. Allongeons-la, par exemple, de manière à lui donner la forme d'un œuf, voire même celle d'une poire ou boomerang. Si les lignes que nous avons tracées sur elle sont entraînées dans cette déformation, leur disposition générale et, par conséquent, les propriétés qui nous ont servi de point de départ, subsisteront.

Cette théorie est, par excellence, une de celles où l'on peut raisonner juste sur des figures fausses.

Toute équation différentielle du premier ordre rentre-t-elle donc dans la théorie précédente ?

Non, et de l'œuvre de Poincaré se dégage ici un nouvel enseignement essentiel. Comme il le rappelle à une occasion analogue[18], le dicton suivant lequel la géométrie est l'art de bien raisonner sur des figures mal faites, est exact ; mais « encore ces figures, pour ne pas nous tromper, doivent-elles satisfaire à une condition. »

« Les proportions peuvent être grossièrement altérées, mais les positions relatives des diverses parties ne doivent pas être bouleversées ».

Nous pouvons, autrement dit, déformer autant que nous le voulons notre sphère, mais sous la condition de ne produire, au cours de cette déformation, ni déchirure, ni, au contraire, adhérence entre parties primitivement séparées.

Or, on sait depuis longtemps qu'il y a des surfaces que l'on ne saurait obtenir par déformation de la sphère en respectant la condition précédente. Tel est le cas d'un tore, c'est-à-dire d'un anneau.

Si notre sphère était en verre et sortait du four, le verrier pourrait l'étirer en un tube fermé aux deux bouts, et même on pourrait concevoir qu'il courbe ce tube de manière à le fermer presque sur lui-même. Toutes ces déformations satisferaient à la condition que nous nous sommes imposée. Mais, pour achever de fermer le tube en anneau, il faudrait encore ouvrir les deux bouts et les aboucher l'un avec l'autre. Or, ces deux opérations sont de celles qui nous sont défendues.

L'étude des conditions moyennant lesquelles deux figures peuvent ou ne peuvent pas être ramenées l'une à l'autre par déformations continues, sous les conventions précédentes, s'appelle la Géométrie de situation ou Analysis situs.

Sa première intervention dans la science remonte à Riemann, avant lequel l'importance des distinctions telles que celle que nous venons de faire n'avait pas été soupçonnée. Le succès de cette intervention fut éclatant : grâce à elle, et à elle seule, fut véritablement fondée la théorie des fonctions algébriques dont les traits essentiels avaient échappé à Cauchy et à Puiseux.

Si remarquable que fût ce résultat, la portée générale n'en fut pas comprise. Avec Poincaré seulement et à la suite des travaux dont nous parlons en ce moment, il apparut que l'Analysis situs doit forcément dominer toute une classe de problèmes mathématiques, et en particulier la théorie des équations différentielles. Nous avons essayé précédemment[19], de faire concevoir les raisons pour lesquelles il en est ainsi ; nous n'y reviendrons pas. Contentons-nous de dire que, sur la disposition des courbes intégrales d'une équation différentielle, l'influence de la forme qu'affecte, au sens de la géométrie de situation, la surface sur laquelle sont tracées ces courbes est capitale et absolue.

Lorsque, après l'étude de la sphère, Poincaré entreprend, au même point de vue, celle du tore, il constate que ce second cas peut offrir une foule de circonstances nouvelles que le premier ne permettait nullement de prévoir. Encore s'en faut-il qu'il arrive toujours à déterminer exactement ce qui se passe.

Les difficultés, elles aussi, sont nouvelles, et telles qu'il est obligé de se poser un grand nombre de questions sans les résoudre.

Ces questions, qui soulèvent des problèmes ardus d'arithmétique, sont, depuis, restées sans réponse.

⁂

Le cas de l'équation du premier ordre — sur la sphère ou sur la terre — occupe les trois premiers mémoires sur les courbes définies par les équations différentielles. Les systèmes du second ordre, qui font l'objet du quatrième et dernier mémoire de cette série, et sur lesquels les principes précédents nous renseignent encore, mais sans nous faire connaître tout ce que nous avons besoin de savoir, offrent déjà les caractéristiques du cas général : c'est, au fond, l'étude générale des équations de la Dynamique, dont celles de la mécanique céleste sont un cas particulier, qui est ainsi abordée.

Elle se poursuit dans l'ouvrage qui devait pour la première fois consacrer la jeune gloire de son auteur en dehors du public proprement scientifique. C'est avec le Mémoire sur le problème des trois corps et les équations de la Dynamique que Poincaré remporta le prix dans le grand concours international ouvert à Stockholm en 1889, entre les mathématiciens du monde entier[20].

Le grand traité intitulé : Les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste prolonge à son tour les deux Mémoires précédents ; c'est dans ces trois ouvrages et, aussi, dans une série d'articles insérés au Bulletin astronomique, que se développent les idées de Poincaré sur le problème des n corps.

L'œuvre est double : elle a un côté négatif et un côté positif. Poincaré, avant d'édifier, a dû commencer par renverser : tout au moins, il a dû limiter la portée des méthodes employées avant lui.

La première à laquelle on ait songé consiste, nous l'avons vu, à rechercher des intégrales du système.

Nous avons dit plus haut que dix seulement de ces intégrales avaient pu être découvertes. En peut-il exister d'autres exprimables par les moyens classiques de l'Analyse ? Il était vraisemblable que non.

La preuve rigoureuse d'impossibilités de cette nature est une catégorie de questions dont la difficulté a, de tout temps, éveillé l'intérêt des géomètres vraiment supérieurs. On sait que la démonstration de l'incommensurabilité entre le carré et sa diagonale, dans l'antiquité, celles de l'impossibilité de la quadrature du cercle et de la non-résolubilité des équations algébriques au delà du quatrième degré, dans les temps modernes, comptent à juste titre, parmi les plus belles conquêtes des mathématiques.

En ce qui concerne les intégrales des équations de la Mécanique céleste, une démonstration de l'impossibilité en question avait été partiellement fournie par Bruns, mais c'est à Poincaré qu'il fut donné de la compléter et d'établir en toute rigueur l'inexistence, non seulement d'intégrales algébriques, mais, plus généralement, d'intégrales uniformes (type le plus général que l'on puisse espérer atteindre avec les procédés usuels du calcul) autres que les intégrales classiques.

Le résultat ainsi obtenu n'intéresse pas moins l'analyste pur que l'astronome. Sa portée n'est pas limitée au système différentiel particulier qui fait l'objet de la Mécanique céleste. La même méthode qui l'a fourni, permet de discuter le nombre des intégrales uniformes des problèmes de la mécanique classique, et, lorsque ce nombre est insuffisant pour l'intégration, de trouver les seuls cas où il puisse s'accroître. Cette méthode est donc nécessairement à la base de toutes les recherches ultérieures sur ces sujets.

Elle ne doit pas moins attirer l'attention par les principes qu'elle fait intervenir. Elle a conduit Poincaré à étudier l'expression de la fonction (fonction perturbatrice), qui donne les seconds membres des équations différentielles, sous un jour nouveau : les propriétés de son développement font apparaître la conclusion demandée.

Mais celle-ci se dégage également sous une autre forme en partant des résultats qualitatifs dont nous parlerons un peu plus loin.

C'est ce dont le lecteur peut, dans une certaine mesure, se rendre compte d'après ce qui a été dit plus haut sur l'équation du premier ordre. À propos du cas le plus simple, celui de la sphère, nous avons vu que, par leur aspect même, les formes des courbes ne sont pas de celles qu'on aurait pu obtenir à l'aide des moyens classiques.

Des faits du même ordre se passent dans le cas général de la Mécanique céleste, dès que le nombre des corps en présence est supérieur à 2.

La recherche des intégrales étant illusoire, pour arriver à un résultat et calculer, à l'aide de la loi de Newton, les éphémérides des mouvements des astres, on a dû dès lors user de moyens de fortune et procéder par retouches, par approximations successives. Ce mode de calcul réussit en pratique ; mais on ne peut l'utiliser qu'à condition de ne pas être trop exigeant : il ne faut lui demander, ni de donner une exactitude indéfinie, ni de conduire à de bons résultats pour une période par trop longue, à plus forte raison de nous renseigner sur la question de la Stabilité du système solaire, laquelle fait intervenir l'indéfinie durée des siècles.

On peut dès lors d'autant moins regarder cette solution comme définitive qu' « il ne s'agit pas seulement de calculer les éphémérides, quelques années d'avance, pour les besoins de la navigation ou pour que les astronomes puissent retrouver les petites planètes déjà connues. Le but final de la Mécanique céleste est plus élevé : Il s'agit de résoudre cette importante question : la loi de Newton peut-elle expliquer à elle toute seule tous les phénomènes astronomiques ? Le seul moyen d'y parvenir est de faire des observations aussi précises que possible, de les prolonger pendant de longues années ou même de longs siècles et de les comparer ensuite aux résultats du calcul. Il est donc inutile de demander au calcul plus de précision qu'aux observations, mais on ne doit point non plus lui en demander moins. Aussi l'approximation dont nous pouvons nous contenter aujourd'hui deviendra-t-elle un jour insuffisante [21]. »

Or, dans les méthodes d'approximation classiques, on trouve l'expression approchée du résultat par la somme d'une série de termes ; mais ces termes sont de plusieurs sortes. Les uns sont périodiques : ils retrouvent leur valeur primitive après de simples fluctuations. Mais d'autres peuvent être proportionnels au temps et par conséquent, augmenter indéfiniment avec lui : c'est ce qu'on appelle des termes séculaires, sans parler d'autres encore qui participent à la fois de la nature des premiers et de celle des seconds.

Mais ce n'est pas tout : il y a des termes périodiques qui ressemblent beaucoup aux termes séculaires et ne sont pas moins gênants qu'eux : ce sont ceux qui ont une longue période (et dont la présence tient à ce que les temps de révolution de deux astres peuvent toujours être considérés, au moins approximativement, comme commensurables entre eux). En leur qualité de termes périodiques, ils reviennent à leurs valeurs primitives et chacun d'eux, par conséquent, ne peut croître au delà d'un certain maximum. Mais le retour à la valeur primitive peut être très tardif et le maximum très grand. C'est la difficulté classique des « petits diviseurs ».

Poincaré a eu lui-même l'occasion d'exposer (dans l'article cité de l'Annuaire du Bureau des Longitudes), les faits concrets qui correspondent à toutes ces circonstances de calculs et nous ne pouvons mieux faire que de lui emprunter cet exposé [22] :

« La remarque essentielle est que certaines causes, qui semblaient d'abord devoir faire varier ces éléments (les éléments qui déterminent les orbites des planètes assez rapidement, ne produisent en réalité que des variations beaucoup plus lentes.

« L'attraction de Jupiter, à distance égale, est mille fois plus petite que celle du Soleil ; la force perturbatrice est donc petite, et cependant, si elle agissait toujours dans le même sens, elle ne tarderait pas à produire des effets très appréciables.

« Il n'en est pas ainsi, et c'est là le point qu'a établi Lagrange. Au bout d'un petit nombre d'années, deux planètes qui agissent l'une sur l'autre ont occupé sur leurs orbites toutes les positions possibles ; dans ces diverses positions, leur action mutuelle était dirigée, tantôt dans un sens, tantôt dans le sens opposé, et cela de telle façon qu'au bout de peu de temps, il y avait compensation presque exacte. Les grands axes des orbites ne sont pas absolument invariables, mais leurs variations se réduisent à des oscillations de faible amplitude de part et d'autre d'une valeur moyenne. »

C'est cette compensation qui est mise en évidence, lorsque le calcul n'introduit que des termes périodiques.

Ce qui fait craindre, au contraire, l'intervention des termes séculaires et aussi celle des petits diviseurs, c'est que, « si les deux moyens mouvements [23] sont commensurables entre eux, au bout d'un certain nombre de révolutions, les deux planètes et le Soleil se retrouveront dans la même situation relative et la force perturbatrice agira dans le même sens qu'au début. La compensation dont j'ai parlé plus haut ne se produit plus alors, et l'on peut craindre que les effets des perturbations ne finissent par s'accumuler et devenir considérables. »

Pour juger de l'importance de tous ces inconvénients, il ne faut pas oublier qu'on est exposé à les rencontrer dans toute la suite du calcul, si loin qu'on le pousse. On ignore, en s'arrêtant à un stade quelconque d'approximation, si l'on a réduit l'erreur au-dessous de la limite voulue, puisqu'on ne sait pas si les approximations suivantes n'introduiront pas des termes susceptibles de devenir très grands. On ignore donc, dans ces conditions, si les approximations « convergent », c'est-à-dire serrent de plus en plus le résultat cherché à mesure qu'on les pousse plus loin ou, au contraire, divergent de manière à ne donner que des résultats sans valeur.

Tout ceci a, bien entendu, sa répercussion sur la question de la stabilité.

Poincaré, dans l'article cité tout à l'heure, rappelle combien de fois cette question a été « résolue », sans, pour cela, jamais cesser en réalité d'appeler de nouvelles recherches. C'est que le problème des n corps est, en vertu des remarques précédentes, un des « moins résolus » qui soient : avec les progrès accomplis dans sa solution évolue, en quelque sorte, la réponse qu'on peut essayer de donner à la question de la stabilité.

En première approximation, Lagrange et Laplace montrèrent qu'il ne s'introduisait pas de termes séculaires, ce qui signifie que la valeur moyenne dont il a été question plus haut n'éprouve que des changements extrêmement « lents, comme si la force qui les produisait était non plus mille fois, mais un million de fois plus petite que l'attraction solaire ».

Plus tard, Poisson étendit un résultat analogue à la seconde approximation. Autrement dit, « il montra que ces changements se réduisaient encore à des oscillations périodiques, autour d'une valeur moyenne qui n'éprouvait que des variations mille fois plus lentes encore ».

Ceci constitue une sorte de présomption en faveur de la stabilité, mais une simple présomption, puisqu'on ignore l'effet des approximations suivantes.

Aussi, au XIXe siècle, des développements en séries de forme nouvelle ont-ils été proposés pour exprimer les éléments des orbites planétaires.

Ils ont pour but de diriger le calcul de manière à ne jamais introduire que des termes périodiques.

La première difficulté de la question (celle qui provient des termes séculaires), est ainsi évitée. Mais la seconde — celle des petits diviseurs — subsiste ; et, par conséquent une question préjudicielle se pose : les séries ainsi obtenues — celles de Lindstedt, par exemple, dont les relations avec les recherches de Poincaré sont, nous allons le voir, particulièrement étroites — convergent-elles ? Faute de quoi, strictement parlant, elles n'ont aucun sens.

Cette question restait douteuse. Jusqu'à Poincaré, on était persuadé que sa solution dans le sens de l'affirmative démontrait la stabilité en question. On était même tenté de présumer celle-ci de par l'existence seule de séries telles que celles de Lindstedt.

En d'autres termes, si, grâce aux « petits diviseurs », les développements en séries, formés pour rendre compte des mouvements des corps célestes sont divergents, on tendait à croire qu'ils pouvaient cependant fournir sur certaines propriétés des solutions — particulièrement sur les propriétés qualitatives — les indications qu'on en déduirait en toute rigueur s'ils étaient convergents.

Ici encore, Poincaré montra qu'il n'en était rien, et que les défectuosités des méthodes précédentes ne sont pas fortuites et tiennent à la nature même des choses. Mais c'est ce que nous ne pouvons préciser, car tout se tient dans cette admirable série de découvertes, sans avoir parlé des résultats positifs.

⁂

L'un d'eux, la notion des invariants intégraux, vient rendre des services sinon égaux, du moins analogues à ceux qu'auraient pu fournir ces intégrales uniformes à la poursuite desquelles la Mécanique céleste doit renoncer. Comme elles, il fournit des quantités qui restent constantes pendant tout le cours du mouvement, seule propriété qui permette d'établir des relations directes entre des phases éloignées de celui-ci. Seulement, cette fois encore, il s'agit, non d'une courbe intégrale unique, mais de la considération simultanée des différentes courbes intégrales et des relations qu'elles ont entre elles.

C'est ce que nous ferons comprendre à l'aide du dernier exemple invoqué précédemment. Représentons-nous, cette fois, notre système d'équations différentielles comme définissant le mouvement d'une molécule fluide. Au lieu de considérer une seule trajectoire, c'est-à-dire le mouvement d'une molécule unique et déterminée, on considérera toutes les molécules qui, à un instant déterminé t, remplissent un volume déterminé V de l'espace. Si maintenant on envisage les nouvelles positions de ces mêmes molécules à un instant ultérieur T, celles-ci rempliront un nouveau volume, lequel sera visiblement, quel que soit T, équivalent à l'ancien.

Or, les choses se passent exactement de même pour les équations de la Dynamique, à ceci près que V désigne alors un volume tracé dans l'espace à un plus grand nombre de dimensions, pour le problème des n corps.

Ce volume V reste encore constant lorsque le temps varie : c'est, dans la terminologie de Poincaré, un invariant intégral.

Ainsi qu'il a été reconnu ensuite, cette belle découverte est déjà ancienne : on doit la faire remonter à Liouville.

Mais lors de sa première apparition, elle était passée inaperçue.

Elle avait même — tant son rôle est essentiel dans la Dynamique générale — été retrouvée une première fois (1871) par Boltzmann qui ignorait le résultat de Liouville comme Poincaré a ignoré l'un et l'autre ; elle est aujourd'hui à la base de toutes les théories cinétiques [24].

Mais à ce premier invariant intégral, Poincaré en joindra toute une série d'autres dont il indiquera les relavions avec le premier.

Le volume, tel qu'il vient d'être considéré, se présente plutôt comme le dernier terme d'une suite d'expressions possédant toutes la même propriété d'invariance.

L'exposé de M. Volterra aura déjà appris au lecteur l'importance qu'ont prise, avec Poincaré, les solutions périodiques des équations de la Dynamique, autrement dit des solutions qui sont figurées géométriquement par des courbes fermées.

On peut caractériser le rôle de ces solutions périodiques en disant qu'il est analogue, jusqu'à un certain point, à celui des points singuliers dont nous avons parlé plus haut, mais dans des conditions infiniment plus étendues et plus instructives pour nous.

Nous ne saurions faire comprendre ici toute la puissance de cette analogie. Contentons-nous d'indiquer comment Poincaré la constate dès le dernier Mémoire sur les courbes définies par les équations différentielles et, grâce à elle, transporte en second ordre les résultats qu'il avait obtenus dans l'étude du premier.

Soit une solution périodique d'un système du second ordre, c'est-à-dire, géométriquement parlant, une courbe fermée dans l'espace (il s'agit, cette fois, de l'espace ordinaire). En un point P de cette courbe, disposons une très petite cible de centre P que la courbe traverse en la perçant perpendiculairement en ce point. Un mobile qui parcourrait indéfiniment la courbe traverserait un nombre infini de fois la cible, toujours au même point P.

Considérons maintenant une autre solution du même système différentiel, très peu différente de la première. Si les deux solutions sont suffisamment voisines, on aura ainsi une seconde courbe C' qui percera également la cible à un nombre infini ou, en tout cas, très grand de reprises, mais cette fois, en des points, en général, différents les uns des autres.

Il pourra arriver que ces « points d'impact » successifs (puisque c'est ainsi qu'on nomme, en langage technique, les points d'arrivée des projectiles sur une cible) aillent en se rapprochant indéfiniment du centre P, ou, au contraire, qu'ils s'en éloignent progressivement jusqu'à sortir de la cible, ou commencent par se rapprocher du centre pour s'en éloigner avant de l'avoir atteint. Ils pourront même s'en approcher ou s'en éloigner en spirale (c'est-à-dire en tournant en même temps autour de ce point) ; ou enfin, quoique exceptionnellement, en faire le tour sans, finalement, s'en rapprocher ni s'en éloigner.

Si maintenant on joint chacun de ces points au suivant, on obtient une ligne dont la forme rappelle d'une manière frappante et inattendue celles des courbes intégrales d'une équation du premier ordre au voisinage d'un point singulier.

Poincaré met d'ailleurs en évidence la raison de ce parallélisme. Elle doit être cherchée dans l'étroite parenté qui existe entre l'étude des équations différentielles et celles, beaucoup moins avancées, des équations dites « aux différences finies ». Nous avons déjà dit que, à plusieurs reprises, Poincaré éclaira, par le même rapprochement, cette dernière question.

La figure ainsi obtenue suffit à nous faire connaître la disposition des arcs successifs de la seconde courbe intégrale C'. Chacun de ses points nous renseigne sur l'arc qui passe en ce point, car tous ces arcs, de part et d'autre de la cible (au moins tant qu'on n'est pas trop loin de celle-ci) cheminent plus ou moins parallèlement les uns aux autres et à la courbe primitive.

Dans le cas où les « points d'impact » successifs vont en se rapprochant indéfiniment du centre, Poincaré obtient ainsi les solutions asymptotiques, dont ce que nous avons dit sur les cycles limites dans les équations du premier ordre et du premier degré fait concevoir dans une certaine mesure la disposition et qui sont une importante conquête de la Mécanique analytique. Comme il arrivait au voisinage des cycles limites, les courbes qui représentent ces solutions asymptotiques suivent la courbe fermée qui sert de point de départ, en s'en rapprochant de plus en plus, mais sans jamais la rejoindre exactement.

Bien entendu, il ne faut pas oublier que notre système du second ordre est encore une image simplifiée des équations différentielles du problème des n corps (lesquelles constituent un système d'ordre 6n définissant des courbes dans l'espace à 6n dimensions et non plus dans l'espace ordinaire). Il reste donc à obtenir également les solutions asymptotiques pour les systèmes d'ordre supérieur, et même, dans cette généralisation, des difficultés d'une nature nouvelle apparaissent.

Mais Poincaré avait, dès son premier ouvrage, fourni à l'analyse les moyens qui devaient permettre de surmonter ces difficultés, de sorte qu'il put établir l'existence des solutions asymptotiques dans le cas général.

Ce sont des résultats de cet ordre qui expliquent comment, pour reprendre l'expression même de Poincaré [25], les solutions périodiques se sont montrées « la seule brèche par où nous puissions essayer de pénétrer dans une place jusqu'ici réputée inabordable » : Elles servent, non seulement en elles-mêmes, mais aussi et surtout comme intermédiaires permettant d'arriver aux autres solutions.

Entre autres conséquences, on obtient ainsi les résultats qualitatifs auxquels nous faisions allusion et qui montrent l'impossibilité d'intégrer au sens classique du mot.

L'existence même des solutions asymptotiques est déjà du nombre. Mais plus topique encore est l'exemple des solutions doublement asymptotiques, dont la mise en évidence a été l'une des grandes difficultés qu'ait surmontées Poincaré sur ce sujet.

Considérons une solution représentée par une courbe C' asymptotique à la courbe fermée C, et suivons la courbe C', dans le sens inverse de celui que nous avions adopté jusque-là. Nous la verrons commencer par s'écarter de C, puisque tout à l'heure, elle s'en rapprochait constamment. Mais dans certains cas, il se peut qu'après s'en être ainsi éloignée, elle tende à y revenir et à être, — lorsqu'on la suit dans notre nouveau sens, — également asymptotique à la même courbe C.

C'est surtout dans les systèmes différentiels d'ordre supérieur, dont les solutions sont représentées par des courbes tracées dans les espaces à un grand nombre de dimensions, que ces solutions doublement asymptotiques peuvent se présenter.

Poincaré a établi, — par des méthodes très délicates, nous l'avons dit, — qu'elles se rencontrent effectivement pour le cas de la Mécanique céleste et dès le problème des trois corps.

Mais elles s'y montrent avec des caractères très singuliers. Soit une solution périodique C, à laquelle sont doublement asymptotiques les solutions C', C''… Ces solutions représentent des mouvements : le double asymptotisme signifie donc que les courbes C', C''…, étaient, à une époque très reculée dans le passé, très près de C, et que (après s'en être sensiblement écartées), elles se retrouveront également très près de C, dans un avenir très lointain.

Dans le premier cas, elles étaient sur une certaine surface S, passant par C ; dans le second, elles seront sur une seconde surface analogue S'.

Mais l'ordre dans lequel elles se succèdent sur S'pourra être tout différent de celui dans lequel elles se succédaient sur S.

« Ce fait, pour peu qu'on prenne la peine d'y réfléchir, semblera une preuve éclatante de la complexité du problème des trois corps et de l'impossibilité de le résoudre avec les instruments usuels de l'Analyse. [26] »

Étant donnée cette importance des solutions périodiques, on ne s'étonnera pas que Poincaré en ait attribué une très grande à leur obtention.

Non seulement à maint endroit des Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, ce problème d'une extrême difficulté, — même lorsqu'on le simplifie en admettant que les conditions où l'on opère sont très voisines de celles dans lesquelles l'intégration est connue — est traité et résolu dans une foule de cas, mais Poincaré le reprend sous une autre forme, dix ans plus tard, dans un mémoire des Transactions de la Société mathématique américaine.

C'est à ce même problème enfin, et cette fois, sous sa forme la plus difficile [27], qu'est allée l'une des dernières méditations de sa vie, celle qui a douloureusement ému tous ses admirateurs par le triste pressentiment qui s'y trouve exprimé : je veux parler du Mémoire des Rendiconti del Circolo matematico di Palermo écrit peu de mois avant sa mort.

Par une méthode de forme toute nouvelle, il montre que tout se ramène à un théorème de géométrie relatif aux transformations des figures planes et que, par conséquent, la démonstration de ce théorème équivaudrait à la résolution de la question posée, au moins dans le premier cas que l'on soit conduit à aborder.

Cette démonstration, que Poincaré s'excusait de ne pouvoir fournir, fut donnée, peu de mois après sa mort, par un géomètre américain, M. Birkhoff, de sorte que les résultats qu'il énonçait à titre hypothétique sont définitivement acquis aujourd'hui.

⁂

Invariants intégraux, solutions périodiques, solutions asymptotiques, sont les matériaux dont sont tissées les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste. Nous ne saurions, sans entrer dans des détails techniques, parler ici des relations établies entre eux dans cet ouvrage ni de l'usage qui en est fait.

Essayons seulement le concevoir comment ces considérations peuvent être appliquées aux questions générales mentionnées plus haut et, en particulier, à la stabilité.

C'est encore en étudiant une courbe intégrale fermée C que, dans le quatrième Mémoire sur les courbes définies par les équations différentielles, Poincaré aborde ces questions ; elles interviennent à propos de la dernière des hypothèses que nous envisagions tout à l'heure relativement à la disposition des arcs successifs d'une même courbe intégrale C' voisine de C : à savoir, celle où leurs « points d'impact » se disposent en rond ou en ovale autour du centre, sans tendre, en fin de compte, à s'en rapprocher ou à s'en éloigner.

Dans ce cas, C peut être enfermée dans un tube annulaire de même qu'une circonférence peut être considérée comme située à l'intérieur d'un tore creux tel qu'une infinité de courbes intégrales C'soient entièrement situées sur la surface de ce tube : et cela même est possible d'une infinité de façons, car le tube peut être pris plus ou moins fin, et aussi fin qu'on le veut d'ailleurs.

Une telle disposition peut assurément exister ; mais, dans le cas d'un système différentiel quelconque, il est impossible de la reconnaître par un nombre fini d'opérations. Poincaré montre, en effet, qu'elle exige, pour être réalisée, une infinité de conditions (faute de l'une desquelles, après une circulation autour du centre, les points successifs se placeraient non sur le même ovale que les premiers d'entre eux, mais en dedans ou en dehors de cet ovale), et il est, par conséquent, impossible de s'assurer directement que toutes sont vérifiées.

Par contre, il en est autrement pour les équations de la Dynamique, et cela grâce aux invariants intégraux. Du moment qu'il existe un invariant intégral, point n'est besoin d'un calcul direct pour vérifier les conditions en question : on est, a priori, sûr qu'elles sont remplies.

Or, le calcul ainsi dirigé n'est autre que celui par lequel on forme les séries de Lindstedt ; et les conditions dont il s'agit ne sont autres que celles qui, dans cette formation, permettent de faire disparaître les termes séculaires.

C'est, au fond, de l'existence des invariants intégraux que résulte, par conséquent, la possibilité d'écrire ces séries, possibilité qui est d'ailleurs établie en s'affranchissant des hypothèses restrictives de Lindstedt lui-même.

L'existence de nos surfaces tubulaires est-elle donc démontrée ?

Nullement : les calculs précédents ne suffisent pas plus à l'établir que les séries de Lindstedt ne suffisent à décider la question fondamentale de stabilité : pour les unes comme pour les autres, la convergence reste douteuse au premier abord.

Poincaré va constater que les séries de Lindstedt sont divergentes ; mais il y a plus — et cette paradoxale découverte qui a bouleversé les conceptions des astronomes remonte aux premières années de son labeur, — il a montré précédemment que la convergence même de séries de cette nature ne pet mettrait pas, à elle seule, d'affirmer la conclusion demandée.

L'existence des séries en question ne peut pas même être regardée, en l'espèce, comme une présomption ; et la preuve, c'est que, dans les cas directement étudiés par Poincaré, la conclusion dont il s'agit est fausse. Tout en semblant vérifiée pendant tout le cours des approximations, elle tombe en défaut lorsqu'on passe au résultat exact.

Dans le problème particulier dont nous nous occupons en ce moment, non seulement le développement en série ne suffit pas à démontrer l'existence des surfaces tubulaires, mais, sur certains cas de cette nature, Poincaré montre qu'en fait ces surfaces n'existent pas toujours et que plusieurs dispositions très différentes sont possibles.

On voit alors « à quel point les difficultés que l'on rencontre en mécanique céleste, par suite des petits diviseurs et de la quasi-commensurabilité des moyens mouvements, tiennent à la nature même des choses et ne peuvent être tournées. Il est extrêmement probable qu'on les retrouvera, quelle que soit la méthode que l'on emploie ».

Disons tout de suite, d'ailleurs, qu'ici les conclusions de Poincaré ne furent pas purement négatives. S'il constate la divergence des séries en question c'est lui qui a montré pourquoi elles peuvent être néanmoins utiles et dans quelles conditions on pouvait en faire un usage légitime : pourquoi, autrement dit, tout en étant incapables de fournir une approximation indéfinie, même si on les poursuivait indéfiniment, elles permettent néanmoins, les masses perturbatrices étant petites, de pousser cette approximation jusqu'à un certain point, heureusement suffisant en pratique.

Mais en ce qui regarde le problème de la stabilité, il résulte de la discussion précédente, et aussi du Mémoire sur le problème des trois corps la question est reprise, sous une autre forme, pour le cas général, que les séries de Lindstedt, comme toutes les méthodes proposées jusque-là dans le même but, sont sans valeur.

Ce sont les invariants intégraux qui ont permis à Poincaré d'élucider, dans des cas relativement étendus, le problème de la stabilité des trajectoires, c'est-à-dire celui qui correspond, pour un système dynamique quelconque, le problème analogue à celui de la stabilité du système solaire.

Il constate tout d'abord que la stabilité a un sens différent chez Laplace qui a démontré cette stabilité en première approximation du second ordre.

C'est la stabilité au sens de Poisson (moins précis que celui de Laplace) que, dans une catégorie étendue de mouvements (laquelle toutefois n'embrasse pas notre système solaire), il a pu démontrer d'une manière rigoureuse et non plus approximative.

Par contre, son résultat a une signification toute différente de ceux qui avaient été obtenus antérieurement. Il ne concerne pas toutes les trajectoires sans exception, mais seulement à des trajectoires exceptionnelles près.

Les mots « trajectoires exceptionnelles » doivent s'interpréter, ici, à l'aide du Calcul des probabilités : ils veulent dire que, une trajectoire étant prise au hasard, la probabilité pour qu'elle soit une de celles qui mettent en défaut le théorème est infiniment petite (et non pas seulement très petite).

Autrement dit, il n'est pas absolument certain qu'une trajectoire arbitraire possède la stabilité à la Poisson, mais il y a infiniment peu de chances qu'il en soit autrement.

⁂

Poincaré fut ainsi une première fois amené par la Dynamique à faire intervenir le Calcul des probabilités. Celui-ci devait, par la suite, tenir une place importante dans son œuvre.

C'est le développement des théories moléculaires qui a imprimé au génie de Poincaré cette orientation. En même temps que les théories en question faisaient, comme nous l'avons dit, passer au second plan (du moins pendant une première phase du calcul) les équations aux dérivées partielles, au profit des équations différentielles ordinaires, elles avaient aussi pour effet de baser toutes les déductions sur le Calcul des probabilités.

La substitution des équations différentielles ordinaires aux équations aux dérivées partielles tendait évidemment à rapprocher les méthodes de la Physique mathématique de celles qui viennent de nous occuper, c'est-à-dire de celles de la Mécanique céleste. Grâce aux recherches ci-dessus mentionnées de Poincaré, on voit que l'introduction du Calcul des probabilités se trouvait agir dans le mème sens. C'est notons-le, sous la même forme que le Calcul des probabilités intervenait de part et d'autre. Nous avons vu précédemment que lé principe fondamental, à savoir l'existence de l'invariant intégral le plus usuel, est commun aux théories moléculaires et à la Dynamique de Poincaré.

Ce rapprochement entre les méthodes, Poincaré le retrouve d'une manière remarquable dans les résultats. Ce n'est pas un des traits les moins curieux du mouvement scientifique au XXe siècle que cette similitude constatée entre l'étude de molécules dont il entre des millions de millions dans un millimètre cube et celle d'astres séparés par des distances que la lumière met des milliers d'années à franchir, celles-là étant considérées pendant quelques milliardièmes de seconde et ceux-ci pendant des millions de siècles. Un astrologue du moyen âge y aurait sans doute vu un bel exemple de l'identité du microcosme et du mégacosme. Nous y voyons simplement un exemple, après beaucoup d'autres, des ressemblances que peuvent offrir les phénomènes les plus éloignés les uns des autres, lorsqu'ils sont régis par les mêmes équations.

Ce sont, tout d'abord, nos connaissances sur le mouvement des planètes qui nous ont aidés à comprendre la vie des molécules.

Mais l'inverse s'est produit lorsque, d'un unique système planétaire tel que le nôtre, on a voulu passer à la foule de ceux qui composent le monde stellaire, même limité à notre voie lactée. C'est Lord Kelvin qui émit pour la première fois une idée de ce genre ; mais c'est Poincaré qui montra tout ce qu'elle est capable de donner. Il suffit de parcourir son livre sur les Hypothèses Cosmogoniques pour voir combien de relations nous commençons à pénétrer, qui nous resteraient encore incompréhensibles, si nous n'avions à notre disposition les études statistiques — c'est l'expression consacrée — entreprise par les physiciens sur le perpétuel et inextricable grouillement des molécules.

Ce livre fut un des derniers de son existence. Il était digne d'en marquer le couronnement. Nul ouvrage ne nécessitait plus et ne met mieux en évidence cette universalité, cette maîtrise simultanée des domaines les plus divers, qui est une des caractéristiques de son génie. Pour éclairer les propriétés des molécules par celles des nébuleuses et inversement, il fallait dominer à la fois les unes et les autres. Il fallait un successeur de Laplace, qui fût en même temps un successeur de ceux qui ont fondé les théories moléculaires, des Clausius et des Boltzmann, pour écrire les Leçons sur les hypothèses cosmogoniques.

Jacques Hadamard.

1 L'essentiel sur ce point comme beaucoup d'autres, a été dit dans l'exposé de M. Volterra, auquel nous renvoyons à plusieurs reprises.
Poincaré. Rapport présenté au Congrès international de Physique, paris, 1900.

2 Voir plus loin pages 69-74

3 Ceci signifie qu'on doit considérer le mouvement, non seulement pendant un instant infiniment court, mais dans une partie infiniment petite du volume du corps mobile.

4 C'est ce que l'on nomme des équations « aux différences finies ».
Voir pages 25 et suiv. du chapitre rédigé par M. Volterra

5 Il existe une infinité de mouvements qui satisfont aux mêmes équations différentielles (et qui diffèrent par la façon dont les points mobiles sont lancés initialement). On ne donne le nom d'intégrales qu'aux quantités qui, tout en restant constantes au cours de chacun de ces mouvements, varient, en général, lorsque l'on passe de l'un à un autre. C'est ce qui a lieu pour l'exemple cité dans le texte.

6 Théoriquement parlant, il existe autant d'intégrales distinctes que d'équations à intégrer. Mais leur détermination est aussi difficile que le problème posé lui-même.

7 Conférence prononcée au Congrès international des Mathématiciens, Rome ; t. I, p. 173 des Actes du Congrès.

8 Voir surtout page 15.

9 Annuaire du Bureau des Longitudes, 1898

10 On va voir plus loin que cette sorte de points singuliers n'est pas la seule.

11 En pratique, ces trajectoires deviennent très voisines l'une de l'autre au fond d'une vallée, où elles suivent sensiblement (mais non exactement) une même ligne appelée thalweg.

12 Inversement, deux lignes de pente peuvent diverger tout en étant presque confondues au début, si, initialement, elles sont voisines de certaines d'entre elles, les lignes de faite.

13 On peut également obtenir des cols dans les spectres magnétiques dont nous avons parlé tout à l'heure : il suffit de recourir aux figures un peu plus compliquées que l'on obtient en faisant agir deux ou plusieurs aimants au lieu d'un seul. Les cols sont les points où les forces magnétiques dues à ces aimants s'équilibrent.

14 Cette dénomination de « centres » ne conviendrait pas à un maelstrom par lequel, comme le veut la légende, la surface liquide serait attirée tout en tournant autour de lui. Les molécules liquides décrivent alors, autour de ce point, non plus des sortes de cercles, mais des sortes de spirales qui iraient en se resserrant progressivement ; un tel point devrait, dans la théorie qui nous occupe, être qualifié de foyer.

15 C'est ce qui va de soi en particulier pour le problème des lignes de pente, lequel, si on le considère dans son ensemble, est relatif au globe terrestre.

16 Dans le cas des lignes de pentes, ces dernières existaient seules. Il en est de même dans le cas, d'ailleurs, tout analogue, du spectre magnétique, de sorte que ces deux exemples étaient, eux aussi, incapables de faire prévoir la solution générale.

17 Mémoire sur l'Analysis situs, journal de l'École Polytechnique, 2e série, 1ier cahier, p. 1.

Revue du Mois, 10 juillet 1909, p. 38-60.

18 Ce concours fut d'ailleurs tout à la gloire de notre pays ; car indépendamment du Mémoire de Poincaré, ce fut celui de M. Appell qui fut distingué.

19 Poincaré. Revue générale des Sciences, loc. cit., p. 1-2.

20 Voir aussi Tisserand et Andoyer, Leçons de Cosmographie, Paris.

21 On appelle ainsi des quantités inversement proportionnelles aux temps de révolution des planètes sur leur orbites respectives.

22 Le théorème sur la stabilité que l'on déduit, comme nous le verrons plus loin, des invariants intégraux, a été également énoncé et démontré par Gibbs, mais en 1898 seulement.

23 Poincaré, Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. I, p. 82.

24 Poincaré, Revue générale des Sciences, t. II, p. 3, 1891.

25 La simplification dont nous parlions tout à l'heure n'est pas admise.

Henri Poincaré et la théorie des trois corps

Du problème des trois corps au chaos mathématique

Une erreur féconde du mathématicien Henri Poincaré

Le mémoire de Poincaré

Le chaos déterministe constitue-t-il l'une des sept grandes révolutions de la Physique

Robert Paris — 2022-06-21T22:05:00Z

Le chaos déterministe constitue-t-il l'une des sept grandes révolutions de la Physique, avec notamment la physique quantique et la relativité ?

Les sept plus grandes révolutions de la Physique sont :

La méthode scientifique en physique, de Ibn Al Haytham à Bacon et Galilée

L'électromagnétisme, de Maxwell à Feynman ;

La gravitation, de Newton à Einstein ;

L'atomisme, de Dalton à Perrin et Einstein ;

L'entropie, de Boltzmann à Prigogine ;

La physique quantique, de Planck-Einstein à De Broglie, Heisenberg, Schrödinger, Pauli, Dirac et Feynman ;

Le chaos déterministe, de Poincaré à Lorentz, Feigenbaum et Kolmogorov ;

Le vide quantique, de Casimir à Diner et Gunzig ;

Les grandes révolutions scientifiques du XXe siècle :

https://excerpts.numilog.com/books/9782705916800.pdf

Lire en français :

https://www.google.fr/search?hl=fr&q=chaos+d%C3%A9terministe+r%C3%A9volution+site%3Ahttp%3A%2F%2Fwww.matierevolution.fr+OR+site%3Ahttp%3A%2F%2Fwww.matierevolution.org&btnG=Recherche&meta=&gws_rd=ssl

Lire encore :

http://www.matierevolution.fr/spip.php?rubrique14

Lire en anglais :

James Gleick Le chaos déterministe

https://web.archive.org/web/20210119024352/http://around.com/chaos-2/

Encore James Gleick Le chaos déterministe

https://archive.org/details/chaos-james-gleick/page/n127/mode/2up

Le chaos déterministe

https://archive.org/search.php?query=deterministic+chaos

https://www.google.fr/books/edition/Deterministic_Chaos/-14Y2WPfYgsC?hl=fr&gbpv=1&dq=Deterministic+Chaos&printsec=frontcover

https://www.google.fr/books/edition/Deterministic_Chaos/ybVBPKHLjNkC?hl=fr&gbpv=1&dq=Deterministic+Chaos&printsec=frontcover

https://www.google.fr/books/edition/Chaos_Dynamics_and_Fractals/ov0RHBAbtIgC?hl=fr&gbpv=1&dq=Deterministic+Chaos&printsec=frontcover

Une lecture de « La théorie du chaos » de James Gleick

https://edelo.net/blog/?p=5622

https://edelo.net/blog/?p=5623

https://edelo.net/blog/?p=5624

https://edelo.net/blog/?p=5625

https://edelo.net/blog/?p=5627

https://edelo.net/blog/?p=5628

https://edelo.net/blog/?p=5629

https://edelo.net/blog/?p=5619

Fiche de lecture https://www.edelo.net/chaos/sommaire.htm

Chap 1 https://www.edelo.net/chaos/chap1.htm

Chap 2 https://www.edelo.net/chaos/chap2.htm

Chap 3 : https://www.edelo.net/chaos/chap3.htm

Chap 4 : https://www.edelo.net/chaos/chap4.htm

Chap 5 : https://www.edelo.net/chaos/chap5.htm

Conclusion : https://www.edelo.net/chaos/conclusion.htm

Compléments : https://www.edelo.net/chaos/complement.htm

Glossaire : https://www.edelo.net/chaos/glossaire.htm

Sommaire : https://www.edelo.net/chaos/livre.htm

Bibliographie : https://www.edelo.net/chaos/biblio.htm

Lire encore :

https://scienceetonnante.com/2018/02/16/theorie-du-chaos-et-effet-papillon/

https://www.cairn.info/histoire-de-la-physique-moderne--9782707122544-page-218.htm

http://perso.ens-lyon.fr/ghys/articles/lorenzparadigme.pdf

https://www.revistadefilosofia.org/35-04.pdf

https://www.science-climat-energie.be/2019/10/22/la-science-classique-sarrete-ou-commence-le-chaos/

http://www.cax.free.fr/chaos/chaos.html

https://journals.openedition.org/trans/267

https://www.researchgate.net/publication/280832025_Le_Chaos_et_sa_Pretendue_Theorie

http://images.math.cnrs.fr/Sculptures-du-chaos.html

https://whatis.techtarget.com/fr/definition/theorie-du-chaos

Comment finissent les épidémies ? Le chaos déterministe donne-t-il une réponse ? - How do epidemics end ? Does deterministic chaos give an answer ?

Robert Paris — 2021-09-16T22:05:00Z

Comment finissent les épidémies ? Le chaos déterministe donne-t-il une réponse ? - How do epidemics end ? Does deterministic chaos give an answer ?

Bien entendu, on ne se pose pas la question pour rien : chacun se demande comment peut se terminer la pandémie actuelle, celle de covid !!! Cette question se complique par le fait que les variants de covid peuvent avoir des propriétés très différentes les uns des autres. En même temps, les chercheurs ont admis que cela peut être une source d'espoir car il y a une probabilité qu'à un moment, les variations produisent un virus covid qui soit à la fois très propagatif et très peu agressif, dominant ainsi tous les autres variants, remplaçant toutes les sortes de vaccins, en mieux, et donnant finalement une espèce de grippe ou de rhume… Bel espoir mais très hypothétique pour le moment… Il faut compter sur le hasard des mutations, pas sur des mesures de santé !

D'autre part, les lois du chaos déterministe qui déterminent les lois des populations pourraient bien être déterminantes pour piloter la fin des épidémies.

https://www.cirad.fr/les-actualites-du-cirad/actualites/2020/science/covid-19-quand-la-theorie-du-chaos-prevoit-l-evolution-de-l-epidemie

Est-il possible de retrouver les équations qui gouvernent la dynamique d'un système environnemental, par exemple d'une épidémie, exclusivement à partir de séries de mesures ?

La réponse du CNRS :

https://insu.cnrs.fr/fr/cnrsinfo/est-il-possible-de-retrouver-les-equations-qui-gouvernent-la-dynamique-dun-systeme

Des auteurs qui pointent en effet le lien des hauts et des bas de la croissance et de la fin des épidémies avec le chaos déterministe et les attracteurs étranges

Il semble bien que le chaos détermiste pilote la dynamique des épidémies.

Le premier à l'avoir souligné est sans doute Robert May.

Une étape dans l'histoire de la notion de chaos a été la publication par le physicien et écologiste Robert M. May, en 1972, d'un article intitulé “Simple mathematical models with very complicated dynamics” (Nature, vol. 261, p. 459). Cet article, sans doute l'un des plus cités lorsqu'il est question de chaos, présente un modèle très simple d'évolution du nombre d'individus d'une population, volontairement le plus simple qu'on puisse imaginer pour décrire la dynamique d'une population : x n + 1 = ax n (1 – x n).
Ce modèle est appelé « application logistique », par référence à « l'équation logistique » introduite par le belge Pierre-François Verhulst en 1846. L'effectif de la population au temps t + 1 dépend bien sûr de la période précédente t. Ce modèle prend en compte par le terme 1 – xn la contrainte liée au « logis » : une population ne peut pas croître indéfiniment sur un territoire donné. Le paramètre a est le taux de croissance effectif. Les valeurs a < 0 et a > 4 du paramètre sont exclues car elles conduisent à des valeurs de la population relative x situées en dehors de l'intervalle acceptable [0,1] car x représente le pourcentage de l'effectif maximum dans le territoire donné. May étudia donc cette évolution pour a variant dans [0,4] et obtint une richesse de comportements de dynamique des populations à l'époque insoupçonnée, certains présentant une « apparence erratique et imprédictible à long terme », et aujourd'hui qualifiés de « chaotiques ». Cet article de May inspira de nombreux travaux, portant entre autres sur les variations cycliques ou chaotiques de populations de pucerons, de sauterelles, de lemmings, de sardines, ou encore de systèmes prédateur-proie (le choix des espèces étudiées est déterminé soit par l'occurrence de phénomènes remarquables, comme les invasions de sauterelles ou les « suicides collectifs » de lemmings, soit par la présence de données fiables et précises sur une longue durée, typiquement plus d'un siècle, fournis par les registres des criées aux poissons, ou ceux des peausseries pour divers couples prédateur-proie, comme les lynx et les lièvres). Mais l'étude du chaos en biologie ne se limite pas à la dynamique des populations, et d'autres domaines d'investigation sont : – l'épidémiologie de certaines maladies infectieuses (rougeole, grippe1) ; – le rythme cardiaque ; – les neurosciences, tant à l'échelle neuronale (enregistrement de l'activité électrique d'un neurone) qu'à l'échelle cérébrale (activité enregistrée par électroencéphalogramme) ; – le métabolisme et les rythmes intracellulaires, observés au niveau de concentrations de certaines molécules (glucose, hormones, ions calcium ou potassium, ...). Ils illustrent et prolongent in vivo les comportements chaotiques manifestés par certaines réactions chimiques2.

Source : « Le chaos en biologie »

« Avec l'épidémiologiste Roy Anderson, May a développé une série de modèles analytiques perspicaces, résumés dans leur livre de 1991 Infectious Diseases of Humans : Dynamics and Control. Leur principale innovation consistait à réduire le problème de la compréhension du pourquoi et du moment des maladies à quelques variables clés. Si, par exemple, le nombre de nouvelles infections d'un cas primaire (le facteur de transmission, R0) dépasse un, la maladie a le potentiel de devenir une épidémie. Anderson et May ont calculé le facteur de transmission efficace si une fraction de la population est immunisée, par exemple à la suite de la vaccination. Cela leur a permis de prédire la proportion de la population qui aurait besoin d'être vaccinée pour éviter la propagation d'une maladie. Ces informations constituent le fondement de notre compréhension de la pandémie de coronavirus, alors que R0 est passé de documents techniques à des bulletins d'information à travers le monde. »

“With the epidemiologist Roy Anderson, May developed a series of insightful analytical models, summarized in their 1991 book Infectious Diseases of Humans : Dynamics and Control. Their key innovation was reducing the problem of understanding why and when diseases spread to a few key variables. If, for example, the number of new infections from one primary case (the transmission factor, R0) exceeds one, the disease has the potential to become an epidemic. Anderson and May calculated the effective transmission factor if a fraction of the population is immune, for instance as a result of vaccination. This allowed them to predict the proportion of the population that would need to be vaccinated to prevent the spread of a disease. These insights form the foundation of our understanding of the coronavirus pandemic, as R0 has moved from technical papers into news bulletins around the world.”
https://www.nature.com/articles/d41586-020-01364-y

Robert May and Roy Anderson, Infectious Diseases of Humans : Dynamics and Control
https://books.google.fr/books?id=HT0--xXBguQC&pg=PP9&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false

Vale Robert May, the legendary scientist who helped us understand ecosystems, chaos theory and even pandemics

https://theconversation.com/vale-robert-may-the-legendary-scientist-who-helped-us-understand-ecosystems-chaos-theory-and-even-pandemics-137595

Robert May, Chaos and the dynamics of biological populations
https://www.jstor.org/stable/2398225?seq=1

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L. Billings & I. B. Schwartz, Journal of Mathematical Biology,Exciting chaos with noise : unexpected dynamics in epidemic outbreaks
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Stability or Chaos in Discrete Epidemic Models, Kenneth L.Cooke Daniel, F.Calef Eric V.Level
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Detecting Nonlinearity and Chaos in Epidemic Data, S Ellner, AR Gallant, J Theiler

https://books.google.fr/books?hl=fr&lr=&id=MZRkdfOBylYC&oi=fnd&pg=PA229&dq=epidemic+and+chaos&ots=afeDW5XEQg&sig=2EwQNFxuV_tVrU3zzWB2dmsBtd0#v=onepage&q=epidemic%20and%20chaos&f=false

S. Mangiarotti, M. Peyre, Y. Zhang, M. Huc, F. Roger, and Y. Kerr, Chaos theory applied to the outbreak of COVID-19 : an ancillary approach to decision making in pandemic context
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7231667/

Autres lectures

Sud Ouest

https://www.sudouest.fr/sante/le-coronavirus-peut-il-devenir-un-jour-un-simple-rhume-1266965.php

Futura sciences
https://www.futura-sciences.com/sante/actualites/coronavirus-pourrait-terminer-epidemie-coronavirus-81020/

The Conversation

https://theconversation.com/voici-comment-la-covid-19-pourrait-devenir-un-simple-rhume-154813

CNRS : La théorie du chaos appliquée à l'épidémie de Covid-19
https://www.insu.cnrs.fr/fr/cnrsinfo/la-theorie-du-chaos-appliquee-lepidemie-de-covid-19

Mathématiques et pandémie
https://www.florilege-maths.fr/fiche/mathematiques-et-pandemie/

Cirad

https://www.cirad.fr/les-actualites-du-cirad/actualites/2020/science/covid-19-quand-la-theorie-du-chaos-prevoit-l-evolution-de-l-epidemie

Youtube

https://www.youtube.com/watch?v=Z27HG2dtgck

Le Temps
https://labs.letemps.ch/interactive/2020/quiz-pandemies/

France Culture
https://www.franceculture.fr/histoire/comment-se-terminent-les-epidemies

RCF Radio

https://rcf.fr/vie-quotidienne/comment-meurent-les-epidemies

LCI

https://www.lci.fr/sante/coronavirus-covid-19-comment-vivent-et-meurent-les-epidemies-2146851.html

France Info

https://www.francetvinfo.fr/sante/maladie/ebola/sras-peste-noire-ebola-comment-meurent-les-epidemies_722095.html

Marianne

https://www.marianne.net/societe/covid-19-et-au-fait-comment-se-terminent-les-epidemies

Science et Avenir

https://www.sciencesetavenir.fr/sante/comment-se-terminent-les-epidemies_146074

Facebook

https://da-dk.facebook.com/franceculture/videos/comment-se-terminent-les-%C3%A9pid%C3%A9mies/245623736594416/

C News

https://www.cnews.fr/france/2020-07-29/coronavirus-vaccins-traitements-immunite-comment-se-terminent-les-epidemies-983094

Matière et Révolution

https://www.matierevolution.fr/spip.php?breve1132

PositivR
https://positivr.fr/comment-s-arrete-une-epidemie/

Arc Info

https://www.arcinfo.ch/dossiers/coronavirus/articles/coronavirus-comment-se-terminent-les-epidemies-939470

ICI Québec
https://ici.radio-canada.ca/nouvelle/1776132/pandemie-un-an-covid-19-histoire-virus-grippe-variole-cholera-peste-mortalite

RTL

https://www.rtl.fr/actu/bien-etre/coronavirus-comment-disparait-une-epidemie-7800534490

L'Express

https://www.lexpress.fr/actualite/sciences/comment-les-pandemies-prennent-elles-fin_2126040.html

Le Nouvel Obs

https://www.nouvelobs.com/coronavirus-de-wuhan/20200322.OBS26421/de-la-peste-au-coronavirus-7-choses-a-savoir-sur-l-histoire-des-epidemies.html

Le Parisien

https://www.leparisien.fr/societe/sante/coronavirus-2019-ncov-comment-une-epidemie-prend-elle-fin-31-01-2020-8249091.php

Orange

https://actu.orange.fr/societe/videos/comment-une-pandemie-prend-elle-fin-CNT000001q9l2N.html

Sciences non linéaires

Robert Paris — 2020-10-19T22:05:00Z

Sciences non linéaires

Phénomènes chaotiques dans les systèmes « simples » non linéaires

Déterminisme et chaos, de Vincent Croquette

On a longtemps pensé que l'aspect chaotique de certains phénomènes physiques était lié, surtout en mécanique des fluides, à leur complexité. Or des solutions chaotiques apparaissent aussi des systèmes simples tels qu'une boussole placée dans deux champs magnétiques.

Certains systèmes physiques tels qu'un pendule, un circuit électrique simple, une bille en chute libre, évoluent de façon que nous pouvons décrire à l'aide d'une grandeur physique mesurable (la variable), de son taux de variation (la dérivée de cette variable par rapport au temps), et éventuellement du taux de variation du taux de variation de la variable (la dérivée seconde par rapport au temps). L'équation qui relie ces différentes grandeurs est une équation différentielle, dont la résolution permet de décrire parfaitement l'évolution ultérieure du système, que l'on qualifie alors de déterministe. Dans le cas de la bille en chute libre, l'équation différentielle du mouvement est particulièrement simple puisqu'elle traduit le fait que l'accélération du corps (la dérivée seconde de sa position par rapport au temps) est constante et égale à l'intensité de la pesanteur. Ainsi, si l'on connaît la position et la vitesse de la bille à un instant donné (les conditions initiales), on peut, en les incorporant à la solution générale de l'équation du mouvement, déterminer la position et la vitesse de la bille à tout instant ultérieur.

Il y a encore peu de temps, les physiciens pensaient que les systèmes déterministes régis par une équation différentielle parfaitement connue avaient des solutions régulières, comme les oscillations d'un pendule ou la trajectoire d'une bille en chute libre. Cependant, cette opinion s'est modifiée à la suite d'observations prouvant que, lorsque l'équation différentielle du système est « non linéaire », celui-ci peut avoir des comportements chaotiques : à première vue, on pourrait penser que c'est le hasard qui régit leur mouvement.

Une « équation différentielle non linéaire » est une équation contenant des termes qui ne sont plus simplement proportionnels à la variable ou à l'une de ces dérivées. L'équation différentielle de la bille en chute libre est tout à fait linéaire, mais celle du pendule simple ne l'est déjà plus car la force qui tend à ramener le pendule dans sa position d'équilibre varie comme le sinus de l'angle que fait le pendule avec la verticale. Si l'on peut remplacer la fonction sinus par une simple loi linéaire pour les petits angles, cette approximation devient très mauvaise dès que les angles sont importants.

L'idée que les systèmes déterministes ne sont pas des systèmes régis par des équations ayant des solutions régulières, infiniment précises, parfaites en quelque sorte, a mis longtemps avant de s'imposer, bien que les contre-exemples n'aient pas manqués ; le plus fameux est sans doute la turbulence dans les fluides, mais il présentait une propriété particulière qui permettait de rendre compte du caractère chaotique des solutions : dans un fluide, une infinité de configurations, ou modes, peuvent devenir instables et le physicien L. Landau avait décrit vers 1950 la turbulence comme la manifestation simultanée de l'ensemble de ces modes, associés chacun à une fréquence particulière.

En 1963, E. Lorentz fit progresser les connaissances sur le sujet de façon notable : pour modéliser les mouvements convectifs d'une couche d'air, il proposa un système d'équations très simples et parfaitement déterministes dont les solutions chaotiques décrivaient la turbulence de la couche d'air sans faire intervenir cette infinité de modes. Dès lors, on a voulu voir le chaos un peu partout dans les systèmes déterministes simples et les physiciens s'intéressent aujourd'hui à nombre de phénomènes qu'ils avaient remarqués mais négligés, car ils en attribuaient le caractère chaotique à l'impropriété des conditions expérimentales plutôt qu'à l'aspect non linéaire de leur équation.

L'engouement des physiciens pour les systèmes stochastiques est également lié aux structures fascinantes que peuvent posséder ces systèmes : le caractère déterministe qu'on croyait souvent effacé par la stochasticité apparaît, d'une certaine façon, dans l'ordre relatif qui se dégage des solutions chaotiques.

Le nom d'attracteurs étranges donné à la représentation mathématique de ces solutions traduit bien cette fascination. Nous décrirons plus loin certains de ces attracteurs.

Un exemple mathématique simple qui illustre bien ces divers aspects de la stochasticité est celui, désormais classique, des itérations d'une fonction dont la forme du graphe est celle d'une cloche. Les fonctions d'une variable sont des expressions mathématiques dont la valeur est déterminée par la valeur attribuée à une seule quantité.

Etant donné une telle fonction f de la variable x, le processus d'itération consiste, à partir d'une valeur initiale x0, à calculer f(x0), la valeur prise par la fonction f lorsque la variable x prend la valeur x0 et à appeler x1 cette valeur de f(x0) ; la valeur du troisième terme x2 de cette suite est alors égale à f(x1), et ainsi de suite. Pour certains types de fonctions f dépendant du paramètre k, comme par exemple la fonction f(x) obtenue en multipliant 4k avec x et (1-x), la suite xn des valeurs successives de la fonction devient chaotique au-delà d'une certaine valeur de k ; cette phase chaotique est précédée d'une phase régulière, la transition vers le chaos se faisant de façon très particulière : dans le cas de la fonction f(x) = 4 k x (1-x), la suite des valeurs xn, pour une valeur initiale x0 comprise entre zéro et un, tend vers une valeur limite unique lorsque k est inférieur à ¾.

Pour des valeurs de k légèrement supérieures à ¾, la suite n'admet plus de limite unique, mais ses termes sont alternativement proches de deux valeurs : il s'est produit ce que l'on appelle un premier dédoublement.

Lorsque le paramètre k devient supérieur à 0,086237, la suite oscille autour de quatre valeurs : un deuxième dédoublement est apparu. Une « cascade » de dédoublements se poursuit lorsque le paramètre k augmente : un troisième dédoublement donne lieu à un cycle de huit valeurs, etc., et l'état chaotique apparaît finalement pour une valeur de k correspondant à une infinité de dédoublements.

Cet exemple peut sembler trop simple et éloigné des systèmes physiques réels. Pourtant A. Libchaber et J. Maurer, à l'Ecole Normale Supérieure, ont les premiers observés, au cours d'expériences de turbulence dans l'hélium et dans le mercure, un scénario de transition vers le chaos tout à fait similaire. Depuis, d'autres physiciens ont observé ce type de phénomène dans les fluides plus commun comme l'eau (M. Gollub et M. Giglio).

Un dispositif extrêmement simple, une boussole placée dans deux champs magnétiques, permet de présenter les principaux aspects des systèmes déterministes où apparaît la stochasticité. Le fait que cet exemple relève de la mécanique classique est loin d'être fortuit : celle-ci a joué un rôle prépondérant dans la compréhension de ces systèmes, bien que ce fait soi rarement mentionné ; ce chapitre tend à combler cette méconnaissance. (…)

Revenons à notre boussole, placée dans un champ magnétique uniforme et stationnaire, le champ terrestre par exemple : quelles que soient les conditions initiales, l'aiguille aimantée s'aligne avec le champ magnétique après avoir effectué quelques oscillations de part et d'autre de celui-ci. Si l'aiguille tournait sans aucun frottement, la boussole oscillerait indéfiniment car elle constitue un système tout à fait équivalent au pendule simple : comme le pendule, la boussole possède un degré de liberté et elle appartient à la classe des systèmes pour laquelle l'ensemble des cas intégrables a la même dimension a que l'ensemble des solutions. Tous les systèmes à un degré de liberté sont intégrables et le pendule simple, malgré son caractère non linéaire, est intégrable ; comme notre boussole soumise à un champ magnétique fixe, le pendule n'aura que des mouvements réguliers.

Pour faire apparaître des mouvements stochastiques, il faut augmenter le nombre de degrés de liberté : dans ce dessein, on ajoute au champ magnétique fixe un champ magnétique tournant. Pratiquement, pour ajouter un champ magnétique tournant au champ magnétique terrestre (fixe) qui s'exerce sur la boussole, il nous suffit de poser un barreau aimanté sur le plateau d'un tourne-disque dont l'axe serait confondu avec celui de la boussole ; on produirait ainsi un champ magnétique horizontal tournant à la même vitesse que le plateau. Le système réalisé, très simple, nous permet d'observer des mouvements stochastiques dont la complexité est remarquable. Mais avant d'entrer plus avant dans la description de ces mouvements, cherchons à comprendre pourquoi ce système possède deux degrés de liberté.

Afin de rester dans le cadre de la mécanique classique, nous supposerons que le plateau du tourne-disque tourne sans frottement après qu'on l'a lancé avec une vitesse angulaire oméga zéro ; pour cela, il faut supposer que le plateau reste en rotation à vitesse constante grâce à son inertie.

Avec ces conditions, on décrit la configuration du système avec deux variables : l'angle thêta que fait la boussole avec le champ magnétique fixe et l'angle phi que fait le champ magnétique tournant par rapport au champ magnétique fixe. Cependant, ce système à deux degrés de liberté est un peu particulier car les couplages qui existent entre la boussole et l'aimant solidaire du plateau ont des effets très dissymétriques : le mouvement de la boussole est directement influencé par celui du plateau (par l'intermédiaire du champ magnétique tournant), mais le mouvement du plateau est très peu affecté par celui de la boussole. Cela est d'autant plus vrai que le plateau est plus massif et que son inertie est beaucoup plus grande : dans la limite où la masse du plateau devient infinie, le plateau se comporte comme un système isolé et son mouvement n'est alors qu'une rotation régulière ; l'angle phi est égal au produit de la vitesse angulaire oméga zéro par le temps t.

Dans l'espace des phases (angle oméga, dérivée d'oméga, angle phi, dérivée de phi) à quatre dimensions, l'évolution du système s'effectue dans un sous-espace à trois dimensions un peu particulier : comme phi est égal à oméga zéro fois t, la dérivée de l'angle phi est égale à la constante oméga zéro et ce sous-espace est donc (oméga, dérivée d'oméga, phi), oméga désignant la vitesse angulaire de la boussole. En outre, l'évolution du point représentatif du système le long de l'axe phi est très simple puisque l'angle phi varie linéairement avec le temps.

Jusqu'ici, nous avons négligé l'influence des frottements qui dissipent l'énergie dans les systèmes physiques, mais l'existence de ces frottements détermine la nature d'un système : un système est non dissipatif, ou hamiltonien, en l'absence de frottement, comme les systèmes célestes par exemple ; en revanche, les systèmes qui nous sont plus accessibles sont généralement dissipatifs car ils présentent des frottements : c'est le cas de la boussole. Cependant, nous étudierons, en premier lieu, les solutions du système non dissipatif obtenues par des simulations sur ordinateur.

Considérons tout d'abord le cas où le champ magnétique tournant est nul ; comme nous l'avons du, le problème est alors analogue à l'étude du mouvement du pendule : l'espace des phases possède deux dimensions repérées, l'une par l'angle thêta que fait la boussole avec le champ magnétique fixe, et l'autre par la vitesse angulaire, dérivée de thêta, de la boussole. Comme deux configurations qui ne diffèrent que d'un nombre entier de tours de la boussole sont identiques, l'espace des phases est périodique suivant l'axe thêta, c'est-à-dire qu'il est constitué d'un motif que l'on retrouve chaque fois que l'on augmente thêta de deux fois Pi. Nous n'étudierons donc que ce motif pour des valeurs de l'angle thêta entre moins Pi et plus Pi.

Grâce aux équations du mouvement, on obtient les différentes trajectoires du point représentatif du système dans l'espace des phases. Ces trajectoires sont multiples car, en l'absence de frottement, il en existe une pour chaque valeur de l'énergie totale : à chaque couple formé d'une valeur de thêta et d'une de sa dérivée, de conditions initiales, est associée une énergie et une trajectoire.

Ainsi, quand nous écartons la boussole du champ magnétique fixe et quand nous la lâchons sans lui donner de vitesse initiale, la trajectoire du point représentatif du système est une courbe fermée qui ressemble à une ellipse d'autant plus grande que l'angle dont nous avons écarté la boussole sera importante ; ce type de trajectoire correspond à un mouvement d'oscillation de la boussole autour du champ magnétique fixe, et l'on dit alors que la boussole est piégée dans le champ magnétique fixe.

Si nous communiquons à la boussole une impulsion suffisamment forte afin qu'elle dispose d'assez d'énergie pour dépasser l'angle thêta égale Pi (la position dans laquelle la boussole pointe dans la direction opposée au champ magnétique), la boussole se met alors à tourner sans fin, accélérant lorsque sa direction se rapproche de celle du champ magnétique et ralentissant quand elle s'en écarte. Dans l'espace des phases, la trajectoire de son point représentatif est une trajectoire ouverte. Une trajectoire très particulière qui jouera un rôle fondamental par la suite est celle qui constitue la frontière entre l'ensemble des trajectoires ouvertes et celui des trajectoires fermées : c'est la séparatrice pour laquelle l'impulsion communiquée à la boussole lui permet d'atteindre sa position d'équilibre instable (où l'angle thêta est égal à Pi), avec une vitesse nulle…

Que se passe-t-il lorsque la boussole se trouve simultanément dans deux champs magnétiques ?

L'apparition de la stochasticité

Nous avons indiqué précédemment comment, pour ce système à deux degrés de liberté un peu particulier, les trajectoires du point représentatif du système s'inscrivent dans l'espace des phases à trois dimensions repéré par (thêta, dérivée de thêta et phi). Or, les problèmes intégrables sont ceux dont les trajectoires s'inscrivent sur des tores de dimension deux : la boussole étant placée dans les deux champs magnétiques, si le problème était intégrable, les trajectoires s'inscriraient sur des surfaces à deux dimensions dans l'espace (thêta, dérivée de thêta et phi). Imaginons (et nous verrons que, dans certains cas, c'est effectivement ce qui se passe) que le mouvement soit simplement la somme des deux mouvements obtenus séparément avec chacun des champs magnétiques. Piégée par le champ fixe, la boussole oscillerait à la fréquence F, et le point représentatif du système décrirait une ellipse dans le plan (thêta, thêta). Le champ magnétique tournant imprimerait à la boussole un deuxième mouvement d'oscillation, à la fréquence f0 (égale à oméga zéro divisé par deux Pi) et le point représentatif du système décrirait alors une hélice s'inscrivant sur un cylindre puisqu'il devrait à la fois tourner dans le plan (thêta, thêta) et se déplacer à vitesse constante suivant l'axe Phi…

Dans ces conditions, les trajectoires stochastiques qui existent dans ce système se trouvent dans un volume que l'on peut décrire comme l'une des surfaces du système supposé intégrable, ayant pris une certaine « épaisseur » ; en fait, le système non intégrable possède les deux types de solution : des mouvements réguliers correspondant aux cylindre dans l'espace des phases et des mouvements stochastiques, comme nous allons le voir ; la nature du mouvement dépend des conditions initiales…

La stochasticité à grande échelle

Les résonances associées aux champs magnétiques fixes et tournants sont bordés par des zones stochastiques qui ont remplacé les séparatrices ; lorsque l'on augmente le paramètre de stochasticité s, ces zones stochastiques s'épaississent et finissent par fusionner pour donner naissance à la stochasticité à grande échelle. On décrit ce phénomène de façon très simple en considérant le critère de recouvrement des résonances : lorsque le paramètre de stochasticité est égal à un, les séparatrices des résonances, si elles existaient encore, viendraient à se toucher ; pour des valeurs du paramètre de stochasticité supérieures à un, les domaines du piégeage délimités par les séparatrices se recouvriraient et la boussole serait piégée à la fois par le champ magnétique fixe et par le champ magnétique tournant : cela n'est pas possible et la boussole résout le problème en adoptant un mouvement stochastique : elle reste piégée un certain temps autour du champ magnétique fixe, oscillant de façon irrégulière, puis accélère subitement pour rattraper le champ magnétique tournant, oscille tout aussi irrégulièrement autour de lui, revient autour du champ magnétique fixe, etc…

Lorsque l'on continue d'augmenter le paramètre de stochasticité, la boussole finit par accompagner le champ magnétique tournant durant quelques tours dans ses mouvements chaotiques… Le système retrouve bientôt une solution régulière, puis retourne au chaos, après une nouvelle cascade de dédoublements. Par la suite, le système connaîtra une alternance de phases chaotiques entrecoupées de phases régulières.

L'intermittence

Lors de ces alternances, chaque fois que l'on passe d'une phase régulière à une phase chaotique, le paramètre de stochasticité s augmentant, on observe une cascade de déboublements de période ainsi qu'une cascade inverse. Quand on passe d'une phase chaotique à une phase régulière, toujours en augmentant le paramètre de stochasticité s, la transition s'effectue suivant un mécanisme tout aussi remarquable : l'intermittence. Ainsi, juste avant de revenir à un mouvement régulier, la phase chaotique est assez facile à décrire : la boussole oscille autour du champ magnétique fixe et l'on pourrait penser que cette oscillation est régulière. En fait, l'amplitude de l'oscillation évolue lentement avec le temps, elle augmente d'abord très doucement, à partir d'un certain niveau s'amplifie plus franchement et l'oscillation devient brusquement chaotique…

Les mouvements de la boussole sont donc une succession de phases d'oscillations presque régulières, entrecoupées de bouffées chaotiques, chacune des phases étant de durée variable… »

Extrait de « L'ordre du chaos », revue de « Pour la science », novembre 1992

L'idée du non-linéaire

Les phénomènes non linéaires

Effets non linéaires observés sur les oscillations d'un pendule simple

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Chaos déterministe

La dynamique non-linéaire, créatrice de nouveauté

Doublement de fréquence dans des cristaux non linéaires

Qu'est-ce que l'attracteur de Lorentz et le chaos climatique ?

Robert Paris — 2020-07-26T22:05:00Z

Une toute petite différence des conditions initiales entraîne un changement radical à moyen terme ou la "sensibilité aux conditions initiales" dite "effet papillon"...

Attracteur de Lorentz

Qu'est-ce que l'attracteur de Lorentz et le chaos climatique ?

Qu'est-ce que le chaos

Qu'est-ce qu'un attracteur étrange ?

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Le chaos déterministe

Lire encore sur le chaos déterministe

Météo, climat et chaos

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Qu'est-ce qu'un attracteur étrange ?

Robert Paris — 2018-12-08T23:05:00Z

Attracteur de Lorenz

Attracteur de Hénon

L'attracteur étrange : cette courbe n'est pas celle du mouvement mais représente les états du système et elle montre que dans des cas où on aurait l'impression du désordre, il y a cependant un certain type d'ordre, des lois, d'où l'expression "chaos déterministe".
Un attracteur signifie que la dynamique a tendance à être attirée par lui. Par exemple, le fleuve est un attracteur du bassin fluvial.

Etrange signifie que la forme de cet attracteur n'est pas une courbe ni une surface et n'est même pas continue mais reconstituée point par point de manière discontinue par la dynamique qui, bien qu'apparemment désordonnée, reconstitue ce type spécial d'ordre. C'est un ordre de type chaos déterministe car il obéit à la sensibilité aux conditions initiales (un petit changement entraîne des possibilités de changements considérables par la suite). Il y a donc à la fois attraction et mélange.

La notion d'attracteur étrange élargit considérablement le domaine de connaissance puisqu'elle permet d'étudier des phénomènes apparemment désordonnés et qui subissent cependant des contraintes tout à fait déterministes, parviennent à un certain type d'ordre dynamique qui n'est pas fondé sur une autre stabilité que celle d'une structure globale. dans le monde réel, ce type de système est courante : du nuage à l'économie et du rythme biologique à la dynamique d'une ville.

Attracteur de Lorentz du climat

attracteur étrange

La notion d'attracteur étrange signifie que la nature produit des horloges qui ne sont pas périodiques. Loin de l'équilibre, les systèmes dynamiques dissipatifs sont capables de produire des horloges, c'est-à-dire des rythmes, qui ne sont pas strictement périodiques. L'attracteur étrange signifie que le retour ne provient pas d'un passage à l'équilibre.

attracteur d'un comportement à deux périodes

Chaos dans les mouvements des fluides, le film

Ilya Prigogine et Isabelle Stengers dans « Entre le temps et l'éternité » :

« Dans le passé, (…) tous les systèmes soumis à un attracteur semblaient devoir « se ressembler ». Aujourd'hui, la notion d'attracteur symbolise au contraire la diversité qualitative des systèmes dissipatifs.
La notion d'état attracteur renvoie en effet à celle de système dissipatif, producteur d'entropie. Un pendule idéal, sans frottement, n'a pas d'état attracteur, mais poursuit indéfiniment son mouvement d'oscillation. En revanche, le mouvement d'un pendule réel s'amortit progressivement. Dans le cas du pendule simple, l'existence de l'attracteur que constitue son état d'équilibre (au sens mécanique) permet de caractériser tout mouvement pendulaire réel en toute généralité, sans avoir besoin de le connaître dans sa particularité. Quelles que soient la vitesse et la position initiale du pendule, nous savons en effet comment nous pourrons le décrire si nous attendons assez longtemps : il finira par se trouver au repos dans sa position d'équilibre. De même, l'existence de l'attracteur que constitue l'état d'équilibre thermodynamique permet d'affirmer qu'une population de milliards de milliards de particules dans une enceinte isolée évoluera vers un état dont la description ne dépend plus que d'un petit nombre de paramètres observables, tels que température et pression.
Pour nous représenter l'attracteur, introduisons un espace dans lequel cet attracteur est plongé. Cet espace possèdera autant de dimensions qu'il faut de variables pour décrire l'évolution temporelle du système. Les états d'équilibre des systèmes dissipatifs correspondent par définition à des attracteurs ponctuels, représentés par un point de cet espace. C'est également le cas pour les systèmes proches de l'équilibre thermodynamique et soumis au théorème de production d'entropie minimum. Dans tous les cas, quelle que soit la préparation initiale du système, l'évolution de celui-ci sous des conditions aux limites données – pourra être représenté par une trajectoire menant du point représentant l'état initial vers le point attracteur. Celui-ci domine donc la totalité de l'espace. Tous les systèmes représentés par les mêmes variables indépendantes aux mêmes conditions aux limites « reviennent au même », connaissent le même destin.
La découverte loin de l'équilibre des comportements cohérents, telle l' « horloge chimique », avec sa période temporelle bien déterminée, implique un premier élargissement de la notion d'attracteur. Ici, il ne s'agit plus d'un point mais d'une ligne. Cette fois, quelle que soit la situation initiale, le système évolue vers un « cycle limite ».
Un système caractérisé par un cycle limite reste un système prévisible, que l'on peut décrire de manière simple. (…)
Jusqu'à ces dernières années, on croyait que les seuls attracteurs possibles correspondaient à des variétés continues, telles que lignes, surfaces et volumes. Mais la découverte des « attracteurs étranges » a ouvert des nouvelles. Les attracteurs étranges ne sont pas caractérisés par des dimensions entières, comme une ligne ou une surface, mais par des dimensions fractionnaires. Ce sont ce que, depuis Mandelbrot, on appelle des variétés fractales. (…)
Jusqu'à il y a peu, l'existence d'un attracteur avait été synonyme de stabilité et de reproductibilité : retour au « même » malgré les perturbations, quelles que soient les particularités initiales. Aux nouveaux types d'attracteurs correspondent des comportements « sensibles aux conditions initiales » qui font perdre son sens à la notion de « même ». Dans toute région, aussi petite soit-elle, occupée par l'attracteur fractal, passent autant de trajectoires que l'on veut, et chacune de ces trajectoires connaît un destin différent des autres. En conséquence, des situations initiales aussi voisines que l'on veut peuvent engendrer des évolutions divergentes. La moindre différence, la moindre perturbation, loin d'être rendue insignifiante par l'existence de l'attracteur, a donc des conséquences considérables. (…)
Nous arrivons ici à la définition du comportement « chaotique », qui est un comportement typique des systèmes caractérisés par un attracteur étrange. Un comportement est chaotique si des trajectoires issues de points, aussi voisins que l'on veut dans l'espace des phases, s'éloignent les unes des autres au cours du temps de manière exponentielle ; la distance entre deux points quelconques appartenant à de telles trajectoires croit proportionnellement à une fonction exponentielle de l'inverse du temps de Lyapounov.
Le temps de Lyapounov permet de définir une véritable « échelle de temps ».

Ilya Prigogine et Isabelle Stengers dans « La nouvelle alliance » :

« Une notion cruciale est la notion d'attracteur. Les exemples d'attracteurs sont innombrables et bien connus de la physique. Le pendule, qui s'immobilise progressivement, rejoint son état attracteur. Le liquide chaud dont la température rejoint progressivement celle de l'environnement gagne son état attracteur. (…) Nous avons vu que, près de l'équilibre, l'état stationnaire correspond (….) à un état attracteur essentiellement analogue à l'état d'équilibre. Mais, loin de l'équilibre, d'autres types d'attracteurs peuvent apparaître, et notamment le « cycle limite », correspondant à un comportement temporel périodique adopté de manière spontanée par le système. (…) Depuis, de nouveaux types d'attracteurs ont été découverts qui enrichissent la dialectique du régulier et de l'aléatoire. (…) Ces attracteurs ne correspondent pas à un point, comme l'état d'équilibre, ou à une ligne, comme le cycle limite, mais à un ensemble dense de points, un ensemble assez dense pour que l'on puisse trouver de ces points dans toute région, aussi petite soit-elle. Il s'agit d'un ensemble auquel peut être attribué une dimension « fractale ». Les attracteurs de ce type impliquent, de la part du système qu'ils caractérisent, un comportement de type chaotique. Attracteur et stabilité cessent ici d'aller de pair. David Ruelle a caractérisé ces « attracteurs étranges », qu'on a également appelés « attracteurs fractals », par leur très grande sensibilité aux conditions initiales. Ce qui signifie que l'état attracteur ne se caractérise plus du tout par son insensibilité à de petites variations de ses paramètres. Toute petite variation est susceptible d'entraîner des effets sans mesure, de déporter le système d'un état à un autre très différent. (…) L'opposition entre déterminisme et aléatoire est battue en brèche. (…) C'est désormais autour des thèmes de la stabilité et de l'instabilité que s'organisent nos descriptions du monde, et non autour de l'opposition entre hasard et nécessité. »

ATTRACTEUR DE LORENZ DU CLIMAT

Yakov G. Sinaï explique l'attracteur étrange du climat ou attracteur de Lorenz dans « L'aléatoire du non-aléatoire », article de l'ouvrage collectif « Chaos et déterminisme » :
« Ces attracteurs étranges se manifestent dans de nombreux problèmes de la physique, de l'hydrodynamique, de la biologie, de la chimie, etc. (…) En 1963, le météorologue américain E. N. Lorenz a publié un travail dans lequel il obtenait un système de trois équations différentielles ordinaires, nommé ultérieurement système de Lorenz, qu'il étudiait à l'aide d'un ordinateur. (…) On peut considérer que c'est là le système le plus simple d'équations différentielles non linéaires. Lorenz a déduit ce système d'équations à partir du problème bien connu de la convection d'un gaz ou d'un liquide placé entre deux plaques horizontales et chauffé par le bas (convection de Bénard-Rayleigh). (…) Le modèle de Lorenz fournit un exemple typique d'attracteur étrange. (…) La trajectoire effectue des tours à droite, puis quelques tours à gauche, puis, de nouveau, quelques tours à droite et ainsi de suite de manière irrégulière. (…) Sur l'attracteur lui-même, le mouvement a un caractère instable (…) en feuillets séparés, avec une topologie lacunaire, (…) ce qui a amené à appeler cette structure topologique peu ordinaire « attracteur étrange », selon la définition donnée dans le célèbre article de D. Ruelle et F. Takens « Sur la nature de la turbulence » en 1971. »

« On sera frappé de la complexité de cette figure, que je ne cherche même pas à tracer. Rien n'est plus propre à nous donner une idée de la complexité du problème des trois corps, et, en général, de tous les problèmes de la dynamique où il n'y a pas d'intégrale uniforme… »

Henri Poincaré
Dans « Méthodes nouvelles de la mécanique céleste »

Animation représentant un troisième corps en mouvement...

La loi des trois corps

Quinodoz :

La notion d'attracteur a été développée à partir des systèmes dynamiques afin de fournir une représentation de l'évolution du système en fonction du temps. Dans les systèmes dynamiques possédant peu de degrés de liberté, il est possible de fournir une représentation graphique qui serve de base pour décrire tout phénomène dépendant du temps. Mais lorsque le nombre de degrés de liberté est élevé, une représentation graphique n'est plus possible et l'on fait appel à des moyens de représentation plus globaux comme la dimension de l'attracteur et l'entropie métrique, dont on trouvera la description ailleurs (M. Dubois et coll., 1987). Jusqu'en 1963 on ne connaissait que trois types d'attracteurs : le point fixe, le cycle limite et le tore. Dans un système élémentaire, l'attracteur est représenté par un point fixe : l'exemple en est le pendule simple qui oscille en spirale en perdant de l'énergie et qui finit pas s'arrêter sur un point final appelé « point fixe ». Ce point constitue un attracteur ponctuel.

D'autres systèmes ne s'immobilisent jamais et leur évolution est cyclique et périodique, comme le pendule d'une horloge dont les oscillations sont entretenues. Dans ce cas, l'ensemble des trajectoires ne débute pas au centre de coordonnées (point fixe) mais tendent vers un cycle, et cet attracteur est appelé cycle limite . Ce dernier s'inscrit dans ce qu'on appelle l'espace des phases, c'est-à-dire dans cet espace abstrait où l'état du système peut être représenté sous forme géométrique en fonction des coordonnées du système étudié. L'intérêt de l'espace des phases pour les dynamiciens est justement « lié au fait qu'il doit contenir toute l'information sur la dynamique du système étudié » (M. Dubois et coll., 1987, p. 196). Il existe une troisième forme d'attracteur simple, l'attracteur torique, dont la surface est en forme de chambre à air et qui représente les mouvements résultant de deux oscillations indépendantes dont les trajectoires s'enroulent autour d'un tore .

D'autres systèmes plus complexes ont plusieurs attracteurs différents et leurs trajectoires sont attirées par l'un ou par l'autre des attracteurs, et l'on appelle « bassin d'attraction » d'un attracteur l'ensemble des points de l'espace des phases qui évolue vers l'attracteur considéré. En d'autres termes, on peut dire que les attracteurs attirent à eux toutes les trajectoires dynamiques engendrées à partir des diverses conditions de lancement possibles, « si bien qu'au bout d'un temps plus ou moins long, toutes ces trajectoires se retrouvent sur l'attracteur », comme l'ont souligné M. Dubois et coll. (1987, p. 193). Pour ces auteurs, le lit d'un fleuve peut être considéré comme l'équivalent d'un attracteur « pour tous les ruissellements, du plus petit au plus grand, qui prennent naissance dans son propre bassin » (ibid., p.193).

Les trois formes d'attracteurs dont nous venons de parler constituent des systèmes qu'on dit « prédictibles » car, bien que leurs mouvements soient complexes, ils sont néanmoins prévisibles à long terme. C'est sur de telles bases que l'on peut prédire longtemps à l'avance les heures des marées ou les éclipses dont la venue dépend pourtant de plusieurs mouvements périodiques.

Les attracteurs étranges

Dans les systèmes plus complexes dont l'évolution est « imprédictible », comme par exemple le chemin suivi par deux feuilles mortes tombant d'un même point de départ, les trajectoires vont se séparer pour devenir totalement dissemblables. Cette caractéristique d'amplification des écarts entre trajectoires de l'espace des phases a été nommée sensibilité aux conditions initiales. Lorsque cette propriété existe, le système correspondant est considéré comme chaotique.

Le tracé représentant l'évolution d'un système chaotique dans l'espace des phases en fonction du temps se comporte de manière « étrange » par rapport aux attracteurs des systèmes simples comme nous l'avons vu plus haut, c'est pourquoi D. Ruelle l'a nommé « attracteur étrange », ajoutant qu'il considérait sa propre expression comme « psychanalytiquement suggestive » (G. Pragier et S. Faure-Pragier, 1990, p. 1443).

Comme l'expliquent M. Dubois, P. Atten et P. Bergé (1987), le caractère étrange d'un tel attracteur vient du fait que « sa structure doit refléter deux tendances apparemment antagonistes : l'attraction des trajectoires vers l'attracteur et leur divergence sur ce dernier. L'attraction est liée au caractère dissipatif de tout système réel : sous l'effet des forces de frottement, les trajectoires tendent à venir se rejoindre sur l'attracteur. La divergence vient, quant à elle, de la sensibilité aux conditions initiales. La cohabitation de l'attraction et de la divergence apporte une contrainte d'autant plus forte que les trajectoires doivent être décrites continûment (puisqu'elles représentent une dynamique à tout moment), dans un espace confiné (puisque les valeurs des variables, vitesse, angles, etc. du système sont nécessairement limitées) et enfin qu'elles ne peuvent se couper (déterminisme) » (p. 196).

La divergence exponentielle des deux trajectoires reste cependant un phénomène local, et comme les attracteurs ont des dimensions finies, il est impossible que les deux trajectoires divergent de manière infinie, de sorte que l'attracteur doit se replier sur lui-même à un moment ou à un autre. En d'autres termes l'attracteur étrange est le résultat de trois opérations simultanées - contraction, étirement et repliement - qui vont donner naissance à une structure caractéristique en forme de fer à cheval qui va être à son tour aplatie, étirée et repliée. L'attracteur est ainsi fabriqué d'une manière analogue à celle utilisée par le boulanger pour mélanger sa pâte, de sorte qu'il présente une structure feuilletée, « la trajectoire s'emboîtant à l'intérieur d'elle-même à des échelles de plus en plus petites, puisqu'elle ne repasse jamais au même endroit. On retrouve là le concept d'autosimilarité d'un objet fractal » (ibid. p. 198)].

Ainsi, les trajectoires d'un attracteur étrange possèdent également les caractéristiques d'un objet fractal, c'est-à-dire d'un objet qui présente une structuration qui reste du même type quelle que soit l'échelle à laquelle on la regarde. Ce caractère fractal est donc une propriété générale des attracteurs étranges. Il résulte de ce qui précède que, dans un espace ayant au moins trois dimension (ou davantage), un système dynamique non-linéaire peut devenir chaotique. Comme le résument M. Dubois, et coll. « la propriété de sensibilité initiale est donc génératrice de chaos, chaos dont la signature est la présence d'un attracteur étrange dans l'espace des phases. C'est cette signature qui permet d'authentifier un comportement chaotique et de la caractériser quantitativement » (ibid. p. 197).

Multiples applications des attracteurs étranges

Je rappelle que c'est en 1963, en cherchant à comprendre pourquoi il est impossible de faire des prévisions météorologiques à long terme, que E. Lorenz a découvert qu'un modèle relativement simple de la circulation atmosphérique qu'il avait élaboré produisait des effets inattendus, largement divergents, à cause de la sensibilité du système aux conditions initiales. Cette caractéristique était nouvelle, car dans les attracteurs dont nous avons parlé en premier, qui sont non chaotiques, les erreurs ont des conséquences limitées et leur comportement reste prévisible. Par contre, dans les systèmes dynamiques, la sensibilité aux conditions initiales a pour effet que de faibles variations au départ se répercutent sur tout l'attracteur, et il devient impossible de prévoir quoi que ce soit, car il n'existe aucun lien proportionnel de cause à effet (J. Crutchfield et coll., 1987, p. 35).

Depuis ces travaux, on a cherché à trouver des attracteurs étranges dans de nombreux systèmes complexes, comme dans l'écoulement des fluides, dans le laser ou dans le fonctionnement cardiaque, etc. Mais ils ne se rencontrent pas si facilement : « les trouver ressemble plutôt à la cueillette des champignons : il faut savoir où et comment les chercher ! » (M. Dubois et coll., 1987, p. 197). Tant qu'on travaille avec trois variables, il est relativement aisé de « visualiser » le comportement chaotique et d'étudier directement la structure géométrique associée à ce type de comportement. Mais lorsque la dimension de l'espace des phases excède trois, on ne peut plus recourir à des représentations graphiques et l'on doit faire appel à des informations comme la dimension de l'attracteur.

La dimension de l'attracteur va permettre de fournir le nombre minimum de variables nécessaires pour obtenir une description simplifiée mais suffisante du fonctionnement d'un système. Un nombre de variables entre six et sept suffit en général pour le modéliser. « Le problème sera alors de bien analyser le fonctionnement du système physique, d'identifier les mécanismes principaux, les oscillateurs, et d'effectuer des approximations judicieuses. Autrement dit, trouver une dimension assez faible pour nous amener à examiner avec un oeil nouveau le désordre apparent, pour y découvrir les structures organisées sous-jacentes, leurs interactions et leur évolution. Confronté à un phénomène chaotique, il est donc essentiel de déterminer la dimension de l'attracteur étrange qui le caractérise » (ibid., p. 200).

Attracteur et dynamique chaotique

Extraits du texte cité juste au dessus :

Lorsque le système évolue vers un état final d'équilibre, représenté par un point
particulier de l'espace de phases, la trajectoire s'enroule autour de ce point. Le point
d'équilibre étant le même pour toutes les trajectoires issues de points de départ non
trop éloignés, ce point constitue un attracteur. Il peut cependant y avoir plusieurs
attracteurs, et l'ensemble des points de départ aboutissant à chaque attracteur constitue son bassin d'attraction.
Les trajectoires peuvent d'autre part s'enrouler autour d'autre chose qu'un point,
par exemple une courbe ou une surface fermées (cercle ou ellipse dans les cas à deux
variables les plus simples ; tore ou hyper-tore s'il y a plus de deux variables). On a
alors un attracteur cyclique, ce qui signifie que, quel que soit le point de départ
situé dans le bassin d'attraction, la trajectoire finit par rejoindre une figure fermée,
dite cycle limite, parcourue indéfiniment lorsqu'elle est atteinte. Les coordonnées
alors sont périodiques, revenant indéfiniment sur les mêmes valeurs (si le point de
départ est intérieur à l'attracteur cyclique, alors la trajectoire se déroule au lieu de
s'enrouler autour de ce dernier, et le résultat est le même). Enfin, on peut observer
des attracteurs chaotiques.
Deux bassins d'attraction contigus sont séparés par une ligne formée de points au
niveau desquels la trajectoire n'est pas déterminée, et qu'on appelle la ligne de
catastrophes. Cette ligne (parfois fractale) est
un « fil du rasoir » dans le voisinage duquel de petites fluctuations (par exemple
aléatoires) peuvent entraîner le système soit vers un des attracteurs, soit vers l'autre.
Lorsque l'espace d'états est de dimension supérieure ou égale à 3, la représentation des trajectoires est difficile et on a recours, pour les caractériser, aux sections de
Poincaré. On coupe l'ensemble des trajectoires par un plan, et chaque fois qu'une
trajectoire traverse ce plan, elle y marque un point. La suite temporelle de points
obtenus marque le comportement du système.
Ainsi, si la suite temporelle de points converge vers un point d'accumulation,
c'est que la coupe passe par l'attracteur ponctuel, qui est ce point. Si
l'attracteur est cyclique, le plan intersecte le cycle limite en deux points d'accumulation.

1. « Catastrophe » ne doit pas être entendue au sens de « désastre » ... même en écologie ! Il s'agit
(au sens de la théorie des catastrophes de René Thom) du basculement
qualitatif du système en direction d'un nouvel attracteur – changement brusque (et souvent
imprévu) de sa dynamique.

Oscillateurs chaotiques

"Dès 1985, Walter Freeman et ses collègues, de l'Université de Berkeley, se sont intéressés au processus de reconnaissance d'odeurs dans le bulbe olfactif du lapin. En se fondant sur leurs observations, ils ont proposé un mécanisme où la dynamique des signaux observés est chaotique et où la reconnaissance d'une odeur particulière se matérialise par un changement drastique de dynamique que l'on nomme bifurcation : on passe d'un attracteur étrange à un attracteur d'un autre type spécifique de l'odeur reconnue. dans ce modèle, on associe à chaque odeur un attracteur et c'est l'identification de cet attracteur qui permet la reconnaissance de l'odeur."

Hughes Berry et Bruno Cessac dans "Du chaos dans les neurones"

Bifurcations du type Feigenbaum

Autosimilarité

Qu'est-ce que la percolation ?

Robert Paris — 2018-09-24T22:28:00Z

Bernard Sapoval dans « Universalités et fractales » :

« La percolation est des phénomènes critiques les plus simples. Un phénomène est dit critique pour caractériser le fait que les propriétés d'un système peuvent changer brusquement en réponse à une variation même très faible des conditions extérieures. Dans les conditions critiques, le système hésite entre deux états différents, il est instable et présente de grandes fluctuations. (…) Percolation vient du latin « percolare » : couler à travers. Dans la pratique courante, on sait faire du café avec un percolateur qui injecte de l'eau dans une poudre de café comprimé. (…) Pour obtenir du café, il faut qu'il y ait suffisamment de passage entre les grains pour laisser l'eau filtrer. L'eau peut ne pas passer, soit parce que des pores sont bouchés, soit parce que les connexions entre les pores sont bloquées. Pour avoir du café, il faut que l'eau puisse « percoler ». Il n'est pas si facile de faire du bon café. Vous pourriez penser qu'il n'y a qu'à diluer les grains et avoir des pores grands ouverts. Mais si les pores sont trop grands et contiennent trop d'eau, on extraira bien les arômes, mais le café sera trop dilué. Au contraire, si la poudre est trop serrée, on bouchera aléatoirement trop de pores et… plus de café. (…) La réalité nous en offre des illustrations spectaculaires. Ainsi les incendies de forêt en l'absence de vent. (…) La percolation a de nombreuses applications dans l'étude et la maîtrise des propriétés des matériaux hétérogènes comme les matériaux composites. (…) Le plus souvent, le pétrole se trouve dans des milieux ou des roches poreuses d'où l'on ne sait extraire que 30 à 40% de cette source d'énergie présente. (…) On a affaire à la propagation d'un fluide moins visqueux dans un milieu poreux aléatoire. (…) La représentation la plus simple d'un milieu poreux est un assemblage de conduits de tailles variables, tailles réparties selon une certaine loi de probabilité. Les gros pores sont plus facilement envahis que les petits. (…) L'invasion qui se produit suivant ce mécanisme a été baptisée « percolation d'invasion »

La percolation est un processus physique critique qui décrit pour un système, une transition d'un état vers un autre.
C'est un phénomène de seuil associé à la transmission d'une « information » par le biais d'un réseau de sites et de liens qui peuvent, selon leur état, relayer ou non l'information aux sites voisins.
Ce phénomène a été étudié pour la première fois en 1957 par Hammersley qui cherchait à comprendre comment les masques à gaz des soldats devenaient inefficaces. Le terme de percolation vient du phénomène similaire qu'est le passage non plus d'un gaz, mais de l'eau à travers le percolateur de la machine à café qui est un filtre au même titre que le masque à gaz. (Dans ce cas l'information est le fluide, eau ou gaz, et les sites sont les pores du filtre qui relayent l'information s'il ne sont pas bouchés)
Le seuil de percolation correspond à l'apparition au sein du système d'un amas de taille infini. Cette apparition est décrite mathématiquement comme étant une « transition de phase du second ordre ».

La percolation

La percolation est cette capacité pour un fluide (une information, une rumeur, une nouveauté technologique, un revenu ou un liquide) de traverser un tas ou un système chaotique, par des déplacements de proche en proche. Le seuil de percolation est le début d'une transformation (de la rétention à l'écoulement) ou d'une émergence (un insight, une illumination, le cri d'eureka). On retrouve la différence entre information et connaissance. Sur un glacier, la percolation de l'eau (phase liquide) dans la neige contribue à la formation du névé, puis de la glace. Dans un terrain de type sagne ou tourbière, faute de pente, l'eau d'un ruisseau peut difficilement se frayer un chemin. Dans le cas de la Goutte de l'Oule, malgré la pente, on ne peut parler de ruisseau que dans la mesure où l'homme l'aide à se montrer comme un cours (cheminement, mouvement d'écoulement) d'eau et non comme un marais stagnant (qui ne coule pas). Dans l'altération des roches de surface, la vitesse de circulation des eaux au contact des minéraux est le facteur principal. D'où l'importance de la vitesse de percolation de l'eau, à travers l'horizon en cours d'altération. Cette vitesse est fonction du climat (pluviosité et température de l'eau). Lors de la formation des roches métamorphiques, dans la profondeur de la lithosphère, les fluides (eau, CO2, CH4, O2, N2) restent abondants, même à de grandes profondeurs. Cela implique que la percolation se prolonge assez loin dans l'intérieur de la Terre.

Formalisation. Le concept mathématique de percolation a été formulé par le mathématicien anglais J. M. Hammersley, en 1957. Il cherchait à décrire le passage d'un fluide à travers un milieu poreux. Peu à peu, le concept de percolation s'est répandu dans de nombreux domaines. Généralement, il cherche à décrire un phénomène critique (crucial). Avant le seuil de percolation, il n'y a pas d'écoulement. Au-delà de ce seuil, l'écoulement est très large. C'est pourquoi on emploie ce terme en épidémiologie. Il pourrait aussi s'appliquer à la mode et à tout phénomène d'imitation ou de contagion : dans une forêt en feu, un arbre ne brûle que si plusieurs de ses voisins sont en flammes. On retrouve le jeu de la vie de Conway. La percolation peut être isotrope (identique dans toutes les directions) ou anisotrope (le feu va peu contre le vent et revient difficilement sur la terre brûlée). Les modèles mathématiques de la percolation permettent de comprendre le passage d'un chaos vers un réseau. On réalise une multiplication aléatoire de liens entre des couples de points d'un ensemble. Au-delà d'un certain seuil de connexion, un écoulement se réalise de part en part. L'émergence d'un véritable réseau solidarise le fonctionnement de l'ensemble. Un chaos structurant précède ce qui peut apparaître, rétrospectivement, comme une pensée organisatrice.

Pierre-Gilles de Gennes, prix Nobel français de Physique en 1991 (pour ses découvertes sur les cristaux liquides et les polymères), est l'auteur de travaux sur la percolation. En 1969, P. W. Kasteleyn et C. M. Fortuin ont montré la correspondance entre les grandeurs mesurant la percolation et celles utilisées pour simuler des transitions de phase. La percolation réunit des éléments, de proche en proche, pour former des amas (mouillés, malades, conducteurs, à la mode, etc, selon le domaine) de plus en plus gros. L'amas infini possède une propriété d'auto-similitude qui en fait une fractale. On peut donc mesurer sa dimension fractale (dimension non-entière, dimension de Hausdorff-Besicovitch). Combinant géométrie et statistiques, la physique des systèmes désordonnés regroupe les travaux sur la percolation, sur les objets fractals et sur le chaos.

(Dans tous les domaines, la percolation peut se traduire par des arrêts ou par des écoulements brutaux imprévisibles (choc économique par disparition brutale et contagieuse de la confiance). Un désordre local (Sarajevo, 1914 ; Wall Street, 1929 ; New-York, 11 septembre 2001) peut entraîner un désordre général.

Sur la percolation

Et encore sur la percolation

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