Que sont les fractales ?

Que sont les fractales ?

Extrait de "Matière-espace-temps" de Gilles Cohen-Tannoudji :

"Le mathématicien Benoït Mandelbrot s’est intéressé aux courbes, objets, structures qui, comme la trajectoire quantique, présentent des anfractuosités à toutes les échelles auxquelles on les observe ; Il leur a donné le nom général de fractals. Partant d’une remarque très profonde de jean Perrin, Mandelbrot développe l’idée que, contrairement à ce que l’enseignement traditionnel des mathématiques tend à faire croire, les fractals sont beaucoup plus fréquents dans la nature que les objets lisses et sans anfractuosités, sur lesquels se penchent des générations d’élèves et de lycéens studieux. (...) Nous avons été habitués, par notre formation scolaire, à penser que le "lisse" est la règle et le "rugueux" l’exception. Il nous faut faire un effort sur nous-mêmes pour admettre que cette intuition contredit la réalité naturelle. (...) Or, l’existence du quantum d’action implique que les trajectoires soient infiniment compliquées, contournées, chaotiques dans l’espace ordinaire."

Extrait de l’ouvrage de Bernard Sapoval, "Universalités et fractales" :

"La première catégorie de fractales apparaît dans l’étude des phénomènes aléatoires. (...) Les mouvements browniens, les vols de Lévy, la percolation, l’agrégation, les fronts de diffusion sont des exemples de cette géométrie née du hasard. (...) La deuxième catégorie de phénomènes dans lesquels nous voyons apparaître des objets fractals est l’étude des itérations, comme dans le cas des ensembles de Julia et de Mandelbrot, ou plus généralement des systèmes dynamiques, systèmes non linéaire, dont l’étude de la turbulence par exemple. (...) Nous avons vu que même des systèmes d’une extrême simplicité, dont le fonctionnement est strictement causal, sont capables de posséder des états apparemment aléatoires. (...) La troisième catégorie de phénomènes où interviennent des fractales est celle des phénomènes d’interfaces naturelles ou artificielles(alvéoles pulmonaires, racines des plantes, bassins fluviaux, électrodes dans les batteries). (...) S’il est un domaine des sciences de la nature où l’irrégularité géométrique et l’irrégularité temporelle jouent un rôle capital, c’est bien la géophysique. Nous avons vu que des procédures simples permettaient de reproduire des montagnes tout à fait vraisemblables ou que des côtes étaient souvent fractales. Mais il en va de même de beaucoup de structures de notre environnement géophysique. Il peut s’agir tout aussi bien de structures géométriques des couches géologiques, de réseaux de failles géologiques, ou de géométrie d’objets de la géophysique externe, comme les nuages. (...) Les nuages aussi obéissent par leur forme aux lois de la self-similarité. Les petits et les gros nuages ont des formes comparables. Les propriétés de ces nuages vont dépendre bien sûr de leur structure. Par exemple, de la façon dont ils absorbent la lumière. (...) Son absorption sous forme de chaleur dépendra de la taille et de l’épaisseur du nuage sous forme de loi de puissance. (...) Les problèmes de géophysique où la géométrie fractale peut jouer un rôle son très nombreux. Citons-en deux. On a remarqué que la distribution des énergies mises en jeu dans les tremblements de terre rappelait la distribution des amas finis dans les phénomènes de percolation. la criticalité auto-organisée a été invoquée pour décrire la séismicité. La fragmentation, que ce soit celle de la banquise ou celle des rochers, étudiée par Claude Allègre dans le cadre de la renormalisation, peut aussi révéler un caractère fractal. (...) La notion d’universalité a surgi, à grand peine, de l’étude des phénomènes critiques, phénomènes rares qui ne se produisent que dans des circonstances physiques très précises, par exemple près de la température de Curie pour le magnétisme. C’est pourquoi l’idée de criticalité auto-organisée de phénomènes qui se produisent, apparemment, sans ajustement d’un paramètre extérieur a attiré beaucoup l’attention. Il conviendrait mieux, à mon avis, d’évoquer une fractalité auto-organisée car, nous l’avons suggéré, il y a d’autres situations où les fractales adviennent sans qu’existent certains caractères de la criticalité, notamment les fluctuations critiques. La physiologie nous donne l’exemple de la morphologie des poumons, fractale sans fluctuations critiques (heureusement pour notre santé). Dans la corrosité, certaines formes de fractalité ne se développent que quand le phénomène se ralentit, jusqu’à s’arrêter. (...) Nous avons mentionné que les ingénieurs qui bâtissent des digues pour amortir des vagues font des fractales sans le savoir. (..) On construira spécialement des surfaces fractales pour l’isolation acoustique. (...) Les polymères et les aérogels sont des exemples de matériaux fractals. Les aérogels peuvent fournir dans le futur un véritable laboratoire microscopique du désordre. (...) On pourrait probablement utiliser les propriétés de diffusion anormale sur une fractale pour mieux contrôler la distribution dans le temps d’une drogue dans l’organisme. (...) Nous avons vu aussi que la nature réalisait des réseaux de distribution, bronches et artères, et des échangeurs qui permettent l’optimisation des flux et de la répartition des fluides à l’intérieur de notre corps. Nous savons que ce n’est pas un hasard si leur géométrie est fractale. Nous avons même montré qu’il était nécessaire que les alvéoles pulmonaires réalisent une surface "remplissant" l’espace pour posséder l’efficacité suffisante à notre respiration. De très nombreux procédés industriels utilisent des matériaux poreux pour réaliser des interactions entre des gaz ou des liquides et des surfaces. C’est le cas de la catalyse. Dans tous ces cas, le rôle d’une géométrie très irrégulière est central, et ce que nous avons appris à l’aide des géométries fractales nous donne des outils qui s’appliquent sur des géométries quelconques."
Voilà donc où se trouvent les fractales et quelles classes de fractales on peut établir. Mais quelles sont les caractéristiques de ces fameuses fractales ? Fractales vient de fraction. On croit souvent qu’on est habitués à fractionner la réalité mais ce n’est pas si évident. En physique, on a eu bien du mal à admettre la conception quantique qui établit des univers emboîtés à diverses échelles. Dans le cas des fractales, il en va de même. Nous avons des notions sur le monde à partir d’images auxquelles nous comparons la réalité. Il s’agit souvent d’images géométriques comme le point, le segment, la droite, la surface, le plan, la boule. Tous les éléments que je viens de citer ne sont nullement des fractales. Car ils existent à une échelle seulement et ont une dimension bien définie. Une fractale existe à plusieurs échelles emboîtées et n’a de dimension que si on précise un "agraindissement", c’est-à-dire si on met une limite inférieure à la précision des mesures. On dira que les volumes, les surfaces, les courbes peuvent être définies par un nombre entier de variables et les fractales par une fraction !!!

La première propriété remarquable des fractales est la forme qui n’est pas du tout lisse mais contient des anfractuosités à toutes les échelles.

La deuxième propriété fondamentale est la capacité de construction spontanée à partir du désordre d’un ordre très durable, peu sensible aux attaques, très efficace (utilisant un minimum d’énergie pour un maximum de résultat : de zones pouvant être atteintes. Donc un ordre issu du désordre.

La troisième propriété est la construction par répétition d’opérations discontinues successives et simples capables de bâtir une structure d’une complexité quasi infinie.

Benoît Mandelbrot dans "Fractales, hasard et finances" :

"Pourquoi la géométrie héritée d’Euclide mérite si souvent d’être qualifiée de "froide" et "sèche" ? En partie, parce qu’elle ne saurait décrire la forme d’une chronique financière, d’une montagne, d’une côte ou d’un arbre. Les chroniques financières ne sont ni des oscillations périodiques, ni des droites montantes ou descendantes représentant des "tendances" ; les nuages ne sont pas des sphères ; les montagnes ne sont pas des cônes ; les côtes des îles ne sont pas des cercles ; l’écorce d’un arbre n’est pas cylindrique ; et l’éclair ne tombe pas en ligne droite. (...) La complexité de la nature dépasse de façon non pas quantitative mais qualitative tout ce qu’admet la géométrie d’Euclide. (...) La littérature des sciences -sans même s’en excuser- ne comportait pas de réponse utile à des questions pourtant incontournables dont voici des exemples. Comment mesurer la volatilité des chroniques boursières, ne serait-ce que pour pouvoir évaluer les risques financiers de façon réaliste ? Combien mesure la côte de la Bretagne ? Comment peut-on caractériser la forme d’une côte, d’une rivière, d’une ligne de partage des eaux [...] ?

Comment peut-on mesurer et comparer les rugosités d’objets communs, tels qu’une pierre cassée, un talus, une montagne ou un bout de fer rouillé ? Quelle est la forme d’un nuage, d’une flamme ou d’une soudure ? Quelle est la densité des galaxies dans l’univers ?

J’ai forgé le mot « fractale » à partir de l’adjectif latin « fractus ». Le verbe latin correspondant est « frangere », qui signifie « briser », créer des fragments irréguliers. Il est donc très heureux -et très adapté à nos besoins !- qu’outre « fragmenté » (comme dans « fraction » ou « réfraction »), « fractus » signifie aussi « irrégulier », ces deux nuances étant contenues dans « fragment ».

Les scientifiques seront (j’en suis sûr) surpris et ravis de découvrir que bien des formes qu’ils qualifiaient de granuleuses, tentaculaires, entre les deux, boutonneuses, pustuleuses, ramifiées, algueuses, étranges, enchevêtrées, sinueuses, ondulées, menues, ridées, etc., peuvent désormais être abordées de manière rigoureuse et résolument quantitative. (...)

Les fractales sont des objets - qu’ils soient mathématiques, dus à la nature ou à l’homme - qu’on appelle "irréguliers, rugueux, poreux ou fragmentés", et qui, de plus, possèdent ces propriétés au même degré à toutes les échelles. C’est dire que ces objets ont la même forme, qu’ils soient vus de près ou de loin."

Sur Mandelbrot

"On sait que la symétrie joue dans les phénomènes physiques un rôle fondamental. Les symétries sont certaines propriétés des lois de la physique ou de la matière qui se vérifient quand un système subit une transformation géométrique donnée. (...) Les équations de la physique sont supposées invariantes par translation dans le temps. La structure cristalline des solides, c’est-à-dire l’arrangement périodique des atomes dans les solides, leur donne des propriétés particulières de symétrie. Quand on cherche la nature la plus fondamentale des interactions physiques, on y trouve toujours des propriétés de symétrie, comme c’est le cas de la correspondance entre la matière et l’antimatière. (...) Dans cette optique, la géométrie fractale apparaît comme la géométrie adaptée à un autre type de géométrie qui est la symétrie de dilatation ou d’invariance d’échelle."

Bernard Sapoval dans "Universalités et fractales"

Bernard Sapoval dans "Universlités et fractales" :
A quoi servent les fractales ?

"L’application la plus directe et la plus simple de la géométrie fractale est la caractérisation et la mesure de l’irrégularité lorsque celle-ci possède une propriété d’auto-similarité ou une propriété d’auto-affinité sur une échelle suffisante. (...) On essaie ainsi de mesurer le rôle spécifique de l’irrégularité, de la fractalité dans ce cas, (...) en caractérisant les poudres par leurs géométries fractales. Autres exemples, la rugosité de certains papiers, la netteté des lettres d’imprimerie, les distributions de taille de grains dans des poudres, la fragmentation des minerais.

Dans d’autres cas, on comprend le rôle de la géométrie fractale indépendamment de ce qui a créé son existence. C’est le cas, nous le savons, pour des électrodes fractales self-similaires et pour l’appareil respiratoire des mammifères.

Les applications directes non empiriques, c’est-à-dire celles où on utilise la géométrie fractale pour une raison précise et bien comprise, existent dans les procédés de traitement des images. (...) Les notions de distributions multifractales (...) peuvent servir à quantifier la texture d’une image ou d’une partie d’image et aider au diagnostic sur des radiographies où l’on soupçonne l’existence de tumeurs."
Pourquoi des fractales dans la nature ?

"On peut penser que les résonateurs fractals doivent être de mauvais résonateurs pour toutes les fréquences. mais alors, peut-être pouvons-nous comprendre l’existence des côtes fractales de la façon suivante : les vagues sont des modes d’oscillation de la mer en réponse à des excitations que sont le vent, les marées ou les courants".

La Géométrie de la Nature, n’est pas aussi simple qu’on pourrait le croire. Les formes ne se limitent pas à la description de lignes, de courbes, de surfaces ou de volumes s’articulant dans des espaces à deux ou trois dimensions, une géométrie inventée par Euclide. Savez-vous que les choux-fleurs, les ramifications des arbres, les réseaux des rivières, les bronches de nos poumons et de nombreux phénomènes, comme les séismes et les éruptions volcaniques, peuvent être décrits par une autre géométrie ? Cette nouvelle géométrie cachée de la nature, géométrie fractale, introduite en 1975 par le français Benoît Mandelbrot et développée par des spécialistes dans de nombreuse disciplines... D’où viennent ces structures fractales ? La nouvelle théorie de la relativité d’échelle de Laurent Nottale fournit une explication plausible, cohérente et démontre le pourquoi de leur universalité... Ce livre d’initiation a été écrit pour sensibiliser le grand public à cette nouvelle vision du monde naturel qui a des applications multiples, de l’univers aux mathématiques, à la physique, à la chimie, au vivant et à sa dimension évolutive, jusqu’à l’économie et aux arts...